向量运算

向量加法：位移的合成

在前一节中，我们知道向量同时具有大小和方向。在物理中，连续发生两次位移的最终效果，就是向量加法的几何原型。

• 首尾相接（三角形法则）：将向量 $\vec{b}$ 的起点平移至向量 $\vec{a}$ 的终点，则由 $\vec{a}$ 的起点指向 $\vec{b}$ 的终点的向量即为 $\vec{a} + \vec{b}$。
• 共起点（平行四边形法则）：将 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平移至同一起点，以它们为邻边作平行四边形，从共起点出发的对角线即为 $\vec{a} + \vec{b}$。

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向量减法：从终点指向终点

减去一个向量，等价于加上它的相反向量：$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$。

• 几何作图口诀：“共起点，连终点，指向被减向量”。
• 几何含义：将 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 放到同一起点 $O$（即 $\vec{OA}=\vec{a}, \vec{OB}=\vec{b}$），则减法向量就是从减向量的终点指向被减向量的终点的向量：$\vec{a} - \vec{b} = \vec{BA}$

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向量的数乘与共线定理

实数 $\lambda$ 与向量 $\vec{a}$ 的乘积 $\lambda \vec{a}$ 是一个新向量：

• 长度变化：$\vert\lambda \vec{a}\vert = \vert\lambda\vert \cdot \vert\vec{a}\vert$，即长度缩放为原来的 $\vert\lambda\vert$ 倍；
• 方向变化：当 $\lambda > 0$ 时，方向与 $\vec{a}$ 相同；当 $\lambda < 0$ 时，方向与 $\vec{a}$ 相反；当 $\lambda = 0$ 时，$\lambda \vec{a} = \vec{0}$。

向量共线定理：非零向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 共线（即方向相同或相反）的充要条件是：存在唯一实数 $\lambda$，使得 $\vec{b} = \lambda \vec{a}$。

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例题精讲：平行四边形中的向量表示

【题目】 在平行四边形 $ABCD$ 中，$M$ 是 $BC$ 的中点，$N$ 在 $CD$ 上且满足 $CN = 2 ND$。设 $\vec{AB} = \vec{a}$，$\vec{AD} = \vec{b}$。试用基底 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示向量 $\vec{MN}$。

分析思路：在几何图形中求未知向量，核心是沿着图形的边建立一条首尾相接折线路径。

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例题精讲：拆分路径与向量相加（续）

解题步骤：

1. 选择分解路径：由三角形法则，将 $\vec{MN}$ 拆为首尾相接的两段：
   $\vec{MN} = \vec{MC} + \vec{CN}$

2. 表达第一段 $\vec{MC}$：因为 $M$ 是 $BC$ 中点，且 $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$：
   $\vec{MC} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{b}$

3. 表达第二段 $\vec{CN}$：因为 $CN = 2ND$，即 $CN = \frac{2}{3}CD$；而 $\vec{CD} = -\vec{AB} = -\vec{a}$：
   $\vec{CN} = \frac{2}{3}\vec{CD} = -\frac{2}{3}\vec{a}$

4. 代入合成：
   $\vec{MN} = -\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

教师点评（易错点）：特别注意向量的方向！$\vec{CD}$ 与 $\vec{AB}$ 方向相反，因此 $\vec{CD} = -\vec{a}$，切勿漏掉负号。

向量共线（平行）的本质

在学习了向量的加减法与数乘运算后，我们来探讨一个核心问题：在什么条件下，两个向量的方向相同或相反？

几何上，若两个非零向量平移到同一条直线上（或它们原本就在平行线上），我们称它们共线（collinear）或平行（parallel），记作 $\vec{a} \parallel \vec{b}$。

数乘运算 $\lambda \vec{a}$ 的几何意义恰好回答了这一问题：数乘只改变向量的长度或方向正反，不改变其所在的直线方向。

• 当 $\lambda > 0$ 时，$\lambda \vec{a}$ 与 $\vec{a}$ 同向平行
• 当 $\lambda < 0$ 时，$\lambda \vec{a}$ 与 $\vec{a}$ 反向平行

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向量共线定理

将上述直觉形式化，就得到了向量代数中的基本定理：

向量共线定理

设 $\vec{a}$ 为非零向量，则向量 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 共线（平行）的充要条件是：存在唯一实数 $\lambda$，使得
$\vec{b} = \lambda \vec{a}$

深入理解要点

1. 为什么强调 $\vec{a} \neq \vec{0}$？ 若 $\vec{a} = \vec{0}$，当 $\vec{b} \neq \vec{0}$ 时找不到系数 $\lambda$；当 $\vec{b} = \vec{0}$ 时 $\lambda$ 有无数个，失去唯一性。
2. 零向量的规范：规定零向量与任何向量平行（$\vec{0} \parallel \vec{v}$）。若 $\vec{b} = \vec{0}$，取 $\lambda = 0$ 即可。

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判定平面三点共线

向量共线定理最直接的几何应用，是判断与表达平面内三点共线。

三点共线定理

平面上三点 $A, B, C$ 共线 $\iff$ 向量 $\vec{AB}$ 与 $\vec{AC}$ 共线 $\iff \exists \lambda \in \mathbb{R}$，使得：
$\vec{AB} = \lambda \vec{AC}$

基点表达式（重要推论）

引入任意基点 $O$，利用 $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$ 展开，上式可等价改写为：
$\vec{OC} = (1 - \lambda)\vec{OA} + \lambda \vec{OB}$
若设 $\vec{OC} = x\vec{OA} + y\vec{OB}$，则点 $C$ 与 $A, B$ 共线的充要条件是：系数和 $x + y = 1$。

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例题精讲：求解交点向量

题目

在 $\triangle OAB$ 中，点 $C$ 在 $OA$ 上且 $\vec{OC} = \frac{1}{3}\vec{OA}$，点 $D$ 为 $OB$ 的中点。线段 $AD$ 与 $BC$ 相交于点 $P$。已知 $\vec{OA} = \vec{a}$，$\vec{OB} = \vec{b}$，试用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{OP}$。

解题思路

点 $P$ 既在直线 $AD$ 上，又在直线 $BC$ 上。我们可以利用两次「三点共线」条件，用两种方式将 $\vec{OP}$ 表达出来，再利用平面向量基本定理的系数唯一性求解方程。

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例题精讲：分步解答与总结

解答步骤

1. 利用 $A, P, D$ 三点共线：设 $\vec{AP} = \lambda \vec{AD}$，则：
   $\vec{OP} = \vec{OA} + \lambda(\vec{OD} - \vec{OA}) = (1-\lambda)\vec{a} + \frac{\lambda}{2}\vec{b}$

2. 利用 $C, P, B$ 三点共线：设 $\vec{CP} = \mu \vec{CB}$，则：
   $\vec{OP} = \vec{OC} + \mu(\vec{OB} - \vec{OC}) = \frac{1-\mu}{3}\vec{a} + \mu\vec{b}$

3. 立方程求解系数：对比 $\vec{a}, \vec{b}$ 的对应系数：
   $\begin{cases} 1 - \lambda = \frac{1-\mu}{3} \\ \frac{\lambda}{2} = \mu \end{cases} \implies \lambda = \frac{4}{5}, \;\mu = \frac{2}{5} \implies \mathbf{\vec{OP} = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}}$

教师点评：利用待定系数法与共线条件求几何交点向量，是高考及各类考试中的高频考点，请务必熟练掌握「双共线列方程」的思维模式！