(1)已知向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$的夹角为$45°$，且$\left|\overrightarrow{a}\right|=1,\left|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{10}$，则$\left|\overrightarrow{b}\right|=\:$。 (2)某公司一年购买某种货物$600$吨，每次购买$x$吨，运费为$6$万元$/$次，一年的总存储费 用为$4x$万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则$x$的值是 。 (3)等比数列$\left\{{a}_{n}\right\}$的各项均为正数，且$2{a}_{1}+3{a}_{2}=1,{{a}_{3}}^{2}=9{a}_{2}{a}_{6}$则数列$\left\{{a}_{n}\right\}$的通项公式。 (4)已知定义在$R$上的奇函数$f\left(x\right)$，设其导函数为${f}{'}\left(x\right)$，当$x\in\left(-\infty,0\right)$时，恒有$x{f}{'}\left(x\right)< f\left(-x\right)$，令$F\left(x\right)=xf\left(x\right)$，则满足$F\left(3\right)>F\left(2x-1\right)$的实数$x$的取值集合是___。

1. 对已知模的等式进行平方展开以引入数量积

已知 $\left|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{10}$，两边平方得：
$\left|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|^2 = 4\left|\overrightarrow{a}\right|^2 - 4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} + \left|\overrightarrow{b}\right|^2 = 10$

2. 利用夹角和已知模求出关于目标向量模的二次方程，并求解

因为 $\left|\overrightarrow{a}\right|=1$，且 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 的夹角为 $45^\circ$，
所以 $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} = \left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\left|\overrightarrow{b}\right|$。
代入上式得：
$4 - 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\left|\overrightarrow{b}\right| + \left|\overrightarrow{b}\right|^2 = 10 \implies \left|\overrightarrow{b}\right|^2 - 2\sqrt{2}\left|\overrightarrow{b}\right| - 6 = 0$
解此关于 $\left|\overrightarrow{b}\right|$ 的一元二次方程，得：
$\left|\overrightarrow{b}\right| = 3\sqrt{2} \quad \text{或} \quad \left|\overrightarrow{b}\right| = -\sqrt{2} \text{（舍去）}$
所以 $\left|\overrightarrow{b}\right| = 3\sqrt{2}$。

1. 根据实际情境列出一年的总运费与总存储费用之和的函数表达式

购买货物的总吨数为 $600$ 吨，每次购买 $x$ 吨，则一年购买的次数为 $\frac{600}{x}$ 次。
每次运费为 $6$ 万元，则一年的总运费为 $\frac{600}{x} \times 6 = \frac{3600}{x}$ 万元。
一年的总存储费用为 $4x$ 万元。
所以一年的总运费与总存储费用之和（万元）为：
$y = \frac{3600}{x} + 4x \quad (x > 0)$

2. 利用基本不等式求出总费用最小时的 $x$ 值

因为 $x > 0$，由基本不等式得：
$y = \frac{3600}{x} + 4x \geqslant 2\sqrt{\frac{3600}{x} \cdot 4x} = 2\sqrt{14400} = 240$
当且仅当 $\frac{3600}{x} = 4x$，即 $x^2 = 900$ 时取等号。
由于 $x > 0$，解得 $x = 30$。
因此，当 $x = 30$ 时，总费用最小。

1. 通过等比数列性质和已知等式确定数列的公比 $q$

设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$。
由 $a_3^2 = 9a_2a_6$ 及等比数列性质 $a_2a_6 = a_4^2$，得：
$a_3^2 = 9a_4^2$
因为各项均为正数，所以 $a_3 = 3a_4$。
公比为：
$q = \frac{a_4}{a_3} = \frac{1}{3}$

2. 求出首项 $a_1$，进而写出通项公式 $a_n$

由已知 $2a_1 + 3a_2 = 1$，代入 $a_2 = a_1 q = \frac{1}{3}a_1$ 得：
$2a_1 + 3 \cdot \left(\frac{1}{3}a_1\right) = 1 \implies 3a_1 = 1 \implies a_1 = \frac{1}{3}$
由此得等比数列的通项公式为：
$a_n = a_1 q^{n-1} = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = \frac{1}{3^n}$

1. 分析导数条件，确定构造函数 $F(x)$ 在负半轴上的单调性

因为 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，所以当 $x \in (-\infty, 0)$ 时，有 $f(-x) = -f(x)$。
已知当 $x \in (-\infty, 0)$ 时，$x f'(x) < f(-x)$，即：
$x f'(x) + f(x) < 0$
对于函数 $F(x) = xf(x)$，其导函数为：
$F'(x) = f(x) + xf'(x)$
所以在 $x \in (-\infty, 0)$ 时，恒有 $F'(x) < 0$。
由此可知，$F(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递减。

2. 判断 $F(x)$ 的奇偶性，并推出其在正半轴上的单调性

因为 $f(x)$ 是奇函数，所以：
$F(-x) = (-x)f(-x) = (-x)(-f(x)) = xf(x) = F(x)$
因此 $F(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的偶函数。
结合其在 $(-\infty, 0)$ 上单调递减，可知 $F(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。

3. 利用单调性和奇偶性将自变量不等式进行转化并求解

利用偶函数性质，不等式 $F(3) > F(2x-1)$ 等价于：
$F(|3|) > F(|2x-1|) \implies F(3) > F(|2x-1|)$
由于 $F(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调递增，上式等价于：
$|2x-1| < 3$
展开绝对值不等式：
$-3 < 2x-1 < 3 \implies -2 < 2x < 4 \implies -1 < x < 2$
因此，满足条件的实数 $x$ 的取值集合为 $(-1, 2)$。