已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$| \overrightarrow{a}|=| \overrightarrow{b}|=| \overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}|$，则$\overrightarrow{a}$与$2 \overrightarrow{a}- \overrightarrow{b}$夹角的余弦值为 ___ ．

1. 由已知条件求出向量 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 的数量积

因为非零向量 $\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$ 满足 $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$，
两边平方得：
$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2$
$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2 = \overrightarrow{a}^2$
$\overrightarrow{a}^2 + 2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} + \overrightarrow{b}^2 = \overrightarrow{a}^2$
由于 $|\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}|$，代入上式化简得：
$2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} + |\overrightarrow{a}|^2 = 0$
$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} = -\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}|^2$

2. 求出向量 $2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ 的模长

计算 $|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2$：
$|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2 = (2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^2 = 4\overrightarrow{a}^2 - 4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} + \overrightarrow{b}^2$
将 $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} = -\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}|^2$ 和 $|\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}|$ 代入得：

3. 求出向量 $\overrightarrow{a}$ 与 $2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ 的数量积

计算数量积 $\overrightarrow{a}\cdot(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$：

4. 由夹角公式求出夹角的余弦值

设 $\overrightarrow{a}$ 与 $2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ 的夹角为 $\theta$，则
$\cos\theta = \frac{\overrightarrow{a}\cdot(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})}{|\overrightarrow{a}||2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|} = \frac{\frac{5}{2}|\overrightarrow{a}|^2}{|\overrightarrow{a}| \cdot \sqrt{7}|\overrightarrow{a}|} = \frac{5}{2\sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{14}$