已知$| \overrightarrow{a}|=| \overrightarrow{b}|=1$，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角是$90^{\circ}$，$\overrightarrow{c}=2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}=k \overrightarrow{a}-4 \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{d}$垂直，$k$的值为$()$

A. $-6$

B. $6$

C. $3$

D. $-3$

1. 求出基底向量的夹角余弦及数量积

根据题意，已知 $| \overrightarrow{a} | = | \overrightarrow{b} | = 1$，且 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 的夹角为 $90^{\circ}$。
因此，其数量积为：
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = | \overrightarrow{a} | | \overrightarrow{b} | \cos 90^{\circ} = 1 \times 1 \times 0 = 0$

2. 利用向量垂直的条件列出关于 $k$ 的方程

因为 $\overrightarrow{c} = 2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d} = k \overrightarrow{a} - 4 \overrightarrow{b}$，且 $\overrightarrow{c}$ 与 $\overrightarrow{d}$ 垂直，
根据向量垂直的充要条件可知其数量积为 $0$：
$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d} = (2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b}) \cdot (k \overrightarrow{a} - 4 \overrightarrow{b}) = 0$

3. 展开数量积公式并代入已知值求出 $k$

将数量积展开：
$(2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b}) \cdot (k \overrightarrow{a} - 4 \overrightarrow{b}) = 2k |\overrightarrow{a}|^2 + (3k - 8) \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - 12 |\overrightarrow{b}|^2 = 0$
将 $|\overrightarrow{a}|^2 = 1$， $|\overrightarrow{b}|^2 = 1$， 及 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$ 代入得：
$2k(1) + (3k - 8)(0) - 12(1) = 0$
$2k - 12 = 0$
解得 $k = 6$。

因此，正确答案为 B。