已知$\left| \overrightarrow{a}\right|=4$，$\left| \overrightarrow{b}\right|= \sqrt{2}$，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为$135^{\circ}$，则$\overrightarrow{a} · ( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} )=$___．

1. 展开向量数量积表达式

根据平面向量数量积的分配律，将式子展开可得：
$\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a}^2 + \vec{a} \cdot \vec{b}$

2. 分别计算展开式中各项的值

已知 $|\vec{a}| = 4$， $|\vec{b}| = \sqrt{2}$，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $135^{\circ}$。
计算可得：
$\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 = 4^2 = 16$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos 135^{\circ} = 4 \times \sqrt{2} \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -4$

3. 求和得出最终结果

将上述结果代回展开式，得：
$\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 16 + (-4) = 12$