已知椭圆$\text{C}:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a>b>0)$的右焦点为$F(1,0)$，过原点$O$的动直线与椭圆$C$交于$P$，$Q$两点，且$\triangle OFP$面积的最大值为$\dfrac{1}{2}.(1)$求椭圆$C$的方程； (2)经过点$F(1,0)$的直线$l$，与椭圆$C$交于$A$，$B$两点，四边形$OAPB$能否为平行四边形$?$若能，求此时直线$l$的方程，若不能，说明理由.

1. 确定椭圆的焦距参数 $c$

由已知椭圆的右焦点为 $F(1,0)$，可知半焦距 $c=1$.

2. 分析三角形面积的最大值并求出 $b$

设动直线与椭圆交于 $P, Q$ 两点。由于 $P, Q$ 关于原点对称，$\triangle OFP$ 的面积 $S = \dfrac{1}{2} |OF| \cdot |y_P| = \dfrac{1}{2} c |y_P| = \dfrac{1}{2} |y_P|$。
当点 $P$ 位于椭圆短轴端点时，$|y_P|$ 取得最大值 $b$，此时面积最大。
由题意得最大面积为 $\dfrac{1}{2} b = \dfrac{1}{2}$，解得 $b=1$.

3. 求出 $a^2$ 并写出椭圆方程

由 $a^2 = b^2 + c^2$，得 $a^2 = 1^2 + 1^2 = 2$。
因为 $a > b > 0$，所以椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$.

1. 讨论直线 $l$ 的斜率并设出直线方程

设 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，若直线 $l$ 的斜率为 $0$，则直线 $l$ 为 $x$ 轴，此时 $O, A, B$ 三点共线，无法构成四边形。
因此直线 $l$ 的斜率不为 $0$，可设直线 $l$ 的方程为 $x=my+1$.

2. 将直线方程代入椭圆方程并用韦达定理表示坐标和

联立直线与椭圆方程：
$\begin{cases} x = my + 1 \\ \dfrac{x^2}{2} + y^2 = 1 \end{cases} \implies (my+1)^2 + 2y^2 = 2 \implies (m^2+2)y^2 + 2my - 1 = 0$
判别式 $\Delta = 4m^2 - 4(m^2+2)(-1) = 8m^2+8 > 0$ 恒成立。
根据韦达定理：
$y_1 + y_2 = -\dfrac{2m}{m^2+2}$
则 $x_1 + x_2 = m(y_1 + y_2) + 2 = -\dfrac{2m^2}{m^2+2} + 2 = \dfrac{4}{m^2+2}$.

3. 利用平行四边形条件表示点 $P$ 坐标

若四边形 $OAPB$ 为平行四边形，则由向量加法的平行四边形法则可知，对角线互相平分，即 $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$。
设 $P(x_0, y_0)$，则：
$x_0 = x_1 + x_2 = \dfrac{4}{m^2+2}$
$y_0 = y_1 + y_2 = -\dfrac{2m}{m^2+2}$

4. 由点 $P$ 在椭圆上建立关于 $m$ 的方程并求解

由于点 $P(x_0, y_0)$ 在椭圆 $C$ 上，其坐标满足椭圆方程：
$\dfrac{x_0^2}{2} + y_0^2 = 1 \implies x_0^2 + 2y_0^2 = 2$
代入 $x_0, y_0$ 的表达式得：
$\left(\dfrac{4}{m^2+2}\right)^2 + 2\left(-\dfrac{2m}{m^2+2}\right)^2 = 2$
$\dfrac{16 + 8m^2}{(m^2+2)^2} = 2 \implies \dfrac{8(m^2+2)}{(m^2+2)^2} = 2 \implies \dfrac{8}{m^2+2} = 2$
解得 $m^2+2 = 4 \implies m^2 = 2 \implies m = \pm\sqrt{2}$。

5. 得出结论并写出直线方程

由于存在实数 $m = \pm\sqrt{2}$，所以四边形 $OAPB$ 能为平行四边形。
此时直线 $l$ 的方程为 $x - \sqrt{2}y - 1 = 0$ 或 $x + \sqrt{2}y - 1 = 0$.