在锐角三角形${A} {B} {C}$中，$\tan {A} =\dfrac{1}{2}$，${D}$为边${B} {C}$上的点，$\Delta {A} {B} {D}$与$\Delta {A} {CD}$的面积分别为$2$和$4.$过${D}$作${D}{E} \bot {A} {B}$于${E}$，${DF}\bot {A} {C}$于${F}$，则$\overrightarrow{{D}{E} }\cdot \overrightarrow{{DF}}=()$

A. $− \dfrac{13}{14}$

B. $− \dfrac{16}{15}$

C. $− \dfrac{17}{15}$

D. $− \dfrac{15}{14}$

1. 由正切值求出角 $A$ 的正弦和余弦值

因为 $\tan A = \dfrac{\sin A}{\cos A} = \dfrac{1}{2}$，且 $A$ 为锐角，所以 $\sin A > 0, \cos A > 0$，可得 $\cos A = 2\sin A$。
代入同角三角函数关系式 $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ 中，解得：
$\sin A = \dfrac{\sqrt{5}}{5}, \cos A = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$。

2. 计算三角形面积并求出两边乘积 $|AB| \cdot |AC|$

由于 $S_{\Delta ABC} = S_{\Delta ABD} + S_{\Delta ACD} = 2 + 4 = 6$，
结合三角形面积公式 $S_{\Delta ABC} = \dfrac{1}{2} |AB| \cdot |AC| \sin A = 6$，
可得：
$\dfrac{1}{2} |AB| \cdot |AC| \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{5} = 6 \implies |AB| \cdot |AC| = 12\sqrt{5}$。

3. 用边长表示高 $|DE|$ 和 $|DF|$

根据三角形面积公式有：
$S_{\Delta ABD} = \dfrac{1}{2} |AB| \cdot |DE| = 2 \implies |DE| = \dfrac{4}{|AB|}$，
$S_{\Delta ACD} = \dfrac{1}{2} |AC| \cdot |DF| = 4 \implies |DF| = \dfrac{8}{|AC|}$。

4. 确定向量夹角并计算向量的数量积

在四边形 $AEDF$ 中，$\angle AED = \angle AFD = 90^\circ$，
因此 $\angle EDF = 180^\circ - A$，即向量 $\overrightarrow{DE}$ 与 $\overrightarrow{DF}$ 的夹角为 $\pi - A$。
因此数量积为：
$\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DF} = |DE| \cdot |DF| \cdot \cos(\pi - A) = - |DE| \cdot |DF| \cdot \cos A$
将前面求得的值代入得：
$\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DF} = - \dfrac{4}{|AB|} \cdot \dfrac{8}{|AC|} \cdot \cos A = - \dfrac{32}{|AB| \cdot |AC|} \cos A$
$= - \dfrac{32}{12\sqrt{5}} \cdot \dfrac{2\sqrt{5}}{5} = - \dfrac{64}{60} = - \dfrac{16}{15}$。
故选 B。