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平面几何证明

以下定理和性质的应用：

截线所截平行线的性质、中垂线和角平分线、三角形、特殊四边形及圆的性质
全等及相似三角形
中点定理
弦切角定理（交错弧段定理）

这个知识点的练习题

1三角形 ABC 的面积为 $\dfrac{16 + 7\sqrt{10}}{2}\ \text{cm}^2$ ，AB 的长度为 $(3\sqrt{2} + \sqrt{5})\ \text{cm}$ ，且 AB 垂直于 BC。求 BC 的长度…
2如果三角形的两条边分别为4和6，那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数据中的【】 A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
3在 $\Delta ABC$ 中， $AC = 12\text{ cm}$ ， $\angle ABC$ 为直角， $\angle ACB = \frac{\pi}{6}$ 弧度，且 $M$ 是 $BC$ 的中点。在不使用计算器的情况下，求整数 $k$ …
4图中展示了一个四边形 $ABCD$ ，其顶点均落在圆周上。点 $E$ 位于 $CD$ 的延长线上，使得 $AE$ 是圆在点 $A$ 处的切线。 $CD$ 与 $AB$ 为平行线。解释为什么角 $CBA$ = 角 $EDA$ 。证明三角形 $DAE$ …
5圆的方程为 $x^2 + y^2 + 8x - 20y - 53 = 0$ 。求圆的半径以及圆心的坐标。求圆在点 $P(1, -2)$ 处的切线方程。点 $Q(9, 10)$ 在该圆上。解释为什么圆在 $Q$ 点处的切线平行于 $y$ …
6一圆心为 O 的圆穿过点 P(-1,7) 和 Q(0,8)。阐述 PQ 的垂直平分线与点 O 之间的关系。已知直线 $y=2x-2$ 穿过该圆的圆心，求 O 的坐标。由此求该圆的方程。
7在下图中，TAX 和 TCY 分别是圆在 A 和 C 处的切线。AC 与 TD 交于点 E，且点 D 在 BC 上使得 TD 平行于 AB。证明角 ACB 等于角 ATD。利用 (a) 部分的结果，说明是否可以作一个圆经过点 T、A、D…
8如图所示，一个圆穿过三角形 $ABC$ 的顶点。圆在点 $A$ 处的切线与 $BC$ 的延长线相交于点 $D$ 。点 $C$ 处的切线与 $AD$ 相交于点 $E$ 。证明角 $CED$ 是角 $ABC$ 的两倍。通过证明一对相似三角形，证…
9一个高为 $h$ 、底面半径为 $r$ 的圆锥恰好内接于一个半径为 $5\text{ cm}$ 的球体中，如下图所示。 $\left(\text{圆锥的体积} = \frac{1}{3}\pi r^2 h\right)$ 用 $h$ 表示…
10图示两条弦 AB 和 CD 相交于 X，使得角 CXB = $90^\circ$ 。已知 $AC = 5\ \text{cm}$ ， $BD = 12\ \text{cm}$ ，且角 $BDC = \theta$ 。证明 $AB = 5\cos\theta + 12\sin\theta$ …
11该图显示了两个三角形 DAB 和 DBC。已知 BD = 5 米且 BC = 2 米。角 DAB = 角 DBC = 角 DEC = $90^{\circ}$ 。角 ADB = $\theta$ ，且 $\theta$ 是可以变化的。证明 $DE$ …
12下图显示了一个圆，其弦 $PQ$ 和 $RS$ 相交于点 $X$ 。 $P, Q, R$ 和 $S$ 是圆上的点。已知 $PQ = 7\text{ cm}$ ， $RS = 24\text{ cm}$ ，角 $PXQ = 90^\circ$ ，且角 $PRS = \theta$ …
13A(1, 7) 和 B(9, 7) 位于圆心为 P 的圆 $C_1$ 上。直线 $4y + 3x = 31$ 是该圆的一条法线，且通过点 A。一个更大的圆 $C_2$ 与 $C_1$ 具有相同的圆心 $P$ ，其半径是 $C_1$ 半径的三…
14如图所示， $TQ$ 和 $PR$ 是以 $O$ 为圆心的圆的直径。点 $T$ 处的切线与 $RP$ 的延长线交于点 $U$ 。证明： $TR = PQ$ 。 $QP \times UT = TP \times UR$ 。
15如图所示，点 $P, Q, S$ 在一个圆上，点 $P, C, B, O$ 在另一个圆上。PQ 是这两个圆的公共弦。BPS 是一条直线。QC 是圆 $PQS$ 在点 Q 处的切线。QC 和 BP 相交于点 M。证明 $BC$ 平行于 $QS$ …
16 $ABCD$ 是一个位于半径为 8 cm、圆心为 $O$ 的半圆内的矩形。已知 $AB = x$ cm 且 $BC = y$ cm。证明该矩形的面积 $A$ cm $^2$ 由 $A = \frac{x}{2}\sqrt{256 - x^2}$ …
17图中显示了圆上的一个点 $A$ ， $XAY$ 是圆的切线。点 $S$ 、 $B$ 和 $C$ 位于圆上。弦 $AB$ 和 $SC$ 相交于 $T$ ，且角 $ACB$ = 角 $ATC$ 。证明三角形 $ABC$ 和 $ACT$ 相似。证明 $AC^2 - AT^2 = AT \times TB$ …
18本题不接受通过精确作图得出的解法。在梯形 $OABC$ 中，点 $A$ 的坐标为 $(5, 0)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(-2, 6)$ 。边 $OC$ 和 $AB$ 平行，且 $BC$ 垂直于 $OC$ 。证明点 $B$ 的坐…
19通过精确作图来解答本题将不予采纳。该图（未按比例绘制）显示了一个四边形 $ABCD$ ，其顶点为 $A(-4, -6)$ 、 $B(-7, h)$ 和 $C(2, 6)$ ，而 $D$ 位于 $x$ 轴上。 $AD$ 平行于 $BC$ 。点…
20图中显示了一个梯形 $ABCD$ 。点 $X$ 在直线 $AB$ 上，满足 $DX = 12\text{ cm}$ 且 $CX = 9\text{ cm}$ 。 $\angle ADX = \theta^\circ$ 且 $\angle DAX = \angle DXC = \angle XBC = 90^\circ$ …
21圆的方程为 $x^2 + y^2 + 2x - 8y - 8 = 0$ 。求圆心 $C$ 的坐标和该圆的半径。求圆在点 $P(-2, 8)$ 处的切线方程。如果该圆关于直线 $y = 1$ 进行反射，求反射后的圆的方程。求该圆内接最大…
22将一个高为 12 cm、底面半径为 5 cm 的圆锥罩在一个半径为 $r$ cm、高为 $h$ cm 的圆柱上。圆锥沿圆柱的上边缘与圆柱接触。图示为圆锥和圆柱的垂直截面。用 $r$ 表示 $h$ 。由此证明圆柱的体积 $V$ cm $^3$ …
23 $ABCD$ 是一个平行四边形。点 $A$ 在 $y$ 轴上，且 $D$ 的坐标为 $(6, -1)$ 。 $AC$ 是一条水平线，且 $BC$ 的斜率为 $-\frac{4}{3}$ 。求 $A$ 的坐标。答 $A$ ( ... ,…
24图中所示为一个圆心为 $O$ 、直径为 $AB$ 的圆。点 $D$ 和 $F$ 在圆上。点 $E$ 使得 $EB$ 和 $EF$ 是圆的切线。已知点 $C$ 和 $D$ 分别是 $BE$ 和 $AE$ 的中点，求证：角 $DCE = 90^\circ$ …
25[高为 $h$ 且底面半径为 $r$ 的圆锥体积为 $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ 。] 一个底面半径为 5 cm、高为 20 cm 的空心直圆锥在底部有一个小孔。起初，圆锥内装满了水。由于底部漏水，水以 2 $\text{cm}^3/\text{s}$ …
26图中显示了一个棱柱，其横截面为梯形 $ABCD$ 。 $AB = 4x\text{ cm}$ ， $BC = DC = AD = 2x\text{ cm}$ 。该棱柱的长度为 $d\text{ cm}$ 。证明梯形 $ABCD$ 的面积为 $3\sqrt{3}x^2\text{ cm}^2$ …
27在下图中， $BD$ 是圆 $ACB$ 的切线，且 $AB$ 是圆 $BCDE$ 的切线。 $ACFE$ 是一条直线。证明 $AB$ 平行于 $DE$ 。写出与三角形 $ABF$ 相似的两个三角形。证明 $AF \times CF = BF^2$ …
28 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 和 $S$ 是位于一个岛上的四个村庄，其中 $Q$ 位于 $R$ 的正北方。 $PQ = 924\text{ m}$ ， $QR = 640\text{ m}$ ， $PR = 1124\text{ m}$ ， $RS = 583\text{ m}$ …
29梯形的上底长为2cm，下底长为8cm，则梯形的中位线长为 cm．
30如图所示，一个尺寸为 14 cm $\times$ 8 cm 的矩形木块 $ABCE$ 放置在斜面 $VE$ 上。斜面的倾角为锐角 $\theta^\circ$ ，且 $\angle VTE = 90^\circ$ 。该斜面放置在水平面 $ET$ …
31圆心为 $C$ 的圆的方程为 $x^2 + y^2 -10x -4y +25 = 0$ 。求 $C$ 的坐标和圆的半径。解释为什么 x 轴是该圆的切线。在 $x = 3$ 处的圆的切线与 x 轴相交于点 P。求 P 的坐标。
32图中显示了一对相似三角形 $YUX$ 和 $VUW$ 。点 $Y$ 在直线 $VU$ 上，使得 $VY = 12\text{ cm}$ 且 $YU = 20\text{ cm}$ 。角 $UVW = \theta$ ，其中 $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ …
33图中显示了三个点 $A$ 、 $C$ 和 $D$ ，其坐标分别为 $(3, 5)$ 、 $(4, -2)$ 和 $(7, 2)$ 。求 $AC$ 的垂直平分线的方程。求垂直平分线与 $y$ 轴相交的点 $B$ 的坐标。证明 $ABCD$ 是正方形…
34下图显示了一个顶点为 $A(-4, -3)$ 、 $B(6, 1)$ 、 $C(3, 5)$ 和 $D(-2, 3)$ 的四边形 $ABCD$ 。 $M$ 位于 x 轴上，是边 $AD$ 的中点。解释为什么 $ABCD$ 是一个梯形。求 $M$ 的…
35如图所示， $AP$ 是过点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的圆的切线。 $AC$ 是圆的直径，且 $PBC$ 是一条直线。角 $APC$ 的平分线与 $AB$ 交于点 $H$ ，与 $AC$ 交于点 $K$ 。证明三角形 $BAP$ 与三角形 $BCA$ …
36如图所示为一块梯形纸板，其中 $\angle BAD$ 和 $\angle ABC$ 均为直角。 $CD = 20\text{ cm}$ ， $BC = 8\text{ cm}$ 且 $\angle ADC = \theta$ 弧度。证明周长…
37如图所示为一个玻璃窗 $ABCDEF$ ，由一个高为 $3x\text{ cm}$ 、宽为 $y\text{ cm}$ 的长方形 $ABEF$ 以及一个梯形 $BCDE$ 组成，其中 $CD = x\text{ cm}$ ， $BC = 2y\text{ cm}$ …
38本题不接受通过精确作图得出的解。 $ABCD$ 是一个梯形，其中 $AD$ 平行于 $BC$ 且垂直于 $AB$ 。 $E$ 是 $AD$ 上的一个点，且 $BE$ 穿过原点。点 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 的坐标分别为 $(3, -2)$ …
39在下图中，直线 $OP$ 与 $x$ 轴正方向成 $\alpha^\circ$ 的角，使得 $\tan \alpha = 0.2$ ，且 $Q$ 位于 $x$ 轴上。已知 $OP = \frac{\sqrt{26}}{2}$ 单位长度，证明…
40本题若通过精确绘图求解将不予评分。 $OABC$ 是一个直角为 $\angle OAB$ 的梯形。 $A$ 和 $B$ 的坐标分别为 $(-2k, 3k)$ 和 $(0, t)$ ，其中 $k > 0$ ，且 $OA = \sqrt{117}$ …
41点 $A(5, 7)$ 和 $B(-11, 15)$ 在圆 $C$ 上。圆心 $O$ 在直线 $y = -2x - 3$ 上。求 $AB$ 的垂直平分线方程。求该圆的方程。点 $D$ 在该圆上，使得角 $ABD$ 为 $90^\circ$ …
42如图所示，A、B、C 在以 O 为圆心的圆上，AC 为直径。过圆上 B、C 两点的切线相交于 Q。BO 的延长线与直线 QC 相交于 P。证明：角 BOC = 2 imes 角 BCQ。证明：角 BOC = 2 imes 角 BCQ。…
43圆 $C_1$ 的方程为 $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$ 。求 $C_1$ 的圆心坐标和半径。解释为什么 $C_1$ 与直线 $y = 1$ 相切。求圆 $C_2$ 的方程，其中 $C_2$ 是 $C_1$ …
44等腰梯形的腰与中位线都是6厘米，则它的周长是厘米．
45如图所示，两个圆 $C_1$ 和 $C_2$ 相交于 $A$ 和 $B$ 。 $F$ 是 $AB$ 延长线上的一点，使得 $FD$ 和 $FE$ 分别是圆 $C_1$ 在 $D$ 处和圆 $C_2$ 在 $E$ 处的切线。 $DBE$ 是一条直线…
46该图展示了一个婴儿活动区，其四周由 PQ、QR 和 PS 处的隔板围成，其中 PQ = 18 m，PS = 40 m，角 SPQ = 角 QRS = $90^\circ$ ，且锐角 PSR = $q$ 可以变化。证明所有隔板的长度 L m…
47图中显示了一个尺寸为 $14\text{ cm} \times 8\text{ cm}$ 的矩形块 $PQRS$ 放置在倾斜角为锐角 $\theta^\circ$ 的斜面 $VS$ 上的侧视图。斜面放置在水平面 $ST$ 上，且 $d$ …
48在图中， $BC$ 是圆的直径。 $ABC$ 是一条直线， $AG$ 是圆在点 $F$ 处的切线。直线 $DF$ 与 $BC$ 相交于点 $E$ 。证明三角形 $ABF$ 与 $AFC$ 相似。由此证明 $AF^2 = AB \times AC$ …
49如图所示，圆 $ABCD$ 及切线 $ST$ 与圆相切于点 $C$ 。点 $B$ 在 $AT$ 上，满足 $AB = BT$ 。点 $C$ 在直线 $ST$ 上，满足 $SC = CT$ 。证明 $\Delta ABC$ 相似于 $\Delta SDC$ …
50下图未按比例绘制。在图中，D、E 和 F 是圆 C1 上的点。证明 DE 是圆 C1 的直径，并由此求出 C1 的圆心。求圆 $C_1$ 的方程，表示为 $x^2 + y^2 + p x + q y + r = 0$ 的形式，其中 $p$ …
51如图所示， $OC = 4\text{ m}$ ， $OD = 7\text{ m}$ 且角 $CBO = \text{角 } DOC = \text{角 } DAO = 90^\circ$ 。已知角 $COB = \theta$ ，其中 $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ …
52圆心为 $C$ 的圆的方程为 $x^{2}+y^{2}-8x-2y-152=0$ 。求 $C$ 的坐标及该圆的半径。求 $C$ 的坐标及该圆的半径。证明点 $P(9, 13)$ 在圆上。证明点 $P(9, 13)$ 在圆上。直线 $l$ …
53如图所示，两个圆交于 $D$ 和 $F$ 。 $ABC$ 是大圆在 $B$ 处的切线，而 $BFH$ 是小圆在 $F$ 处的切线。 $ADF$ 、 $BDE$ 和 $GFE$ 是直线。已知角 $BFG = x^\circ$ 。证明三角形 BGF…
54圆 $C_1$ 的方程为 $x^2 + y^2 + 2x - 6y = 10$ 。求该圆的圆心坐标和准确半径。 A、B、E 和 F 是另一个圆 $C_2$ 上的 4 个点。 $EF$ 是弦 $AB$ 的垂直平分线。 $EF$ 与 $AB$ 交…
55图 1 显示了一个边长为 1 单位的正三角形。移去一个边长为 $\frac{1}{2}$ 单位的倒置白色正三角形得到图 2。然后从图 2 中移去三个边长为 $\frac{1}{4}$ 单位的倒置白色正三角形得到图 3。此过程以此类推。用…
56如图所示，梯形 $ABCD$ 中， $AD$ 平行于 $BC$ ，且角 $ABC = 90^\circ$ 。 $A$ 、 $C$ 和 $D$ 的坐标分别为 $(0, 4)$ 、 $(5, 3)$ 和 $(6, -5)$ 。证明 $B$ 的坐标为 $(3, 6)$ …
57在 $\Delta ABC$ 中， $\angle ABC = 90^\circ$ ， $AB = 12\text{ cm}$ 且 $AC = 13\text{ cm}$ 。矩形 $BPQR$ 的顶点 $P$ 、 $Q$ 和 $R$ 分别位于 $BC$ …
58图示一个湖泊（阴影部分），其边缘有一条笔直平坦的道路 AXB。点 C 在湖面上，B 是距离 C 最近的点。距离 AB 为 30 m，BC 为 20 m。纳塔莉（Natalie）在道路上的 A 点，想要尽快到达 C 点。她的奔跑速度为 4…
59直线 $y = 10$ 和 $3y + 4x = 32$ 分别在点 $(-2, 10)$ and $(2, 8)$ 处与圆 $C$ 相切。证明圆 $C$ 的方程为 $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 25$ 。说明 $x$ …
60 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 是一个三角形的内角。已知 $\sin(A + B) = \frac{12}{13}$ 。求 $\tan C$ 的精确值。清晰地写出你的解答过程。求 $\cos \left[ (A + B) + \frac{\pi}{3} \right]$ …