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向量应用与解三角形

会用向量方法解决简单的平面几何、力学及其他实际问题；借助向量运算探索三角形边角关系，掌握并运用余弦定理、正弦定理。

这个知识点的练习题

  1. 18.8.设△ABC\triangle ABC的内角AA，BB，CC所对的边分别为aa，bb，cc，若bcos⁡C+ccos⁡B=asin⁡Ab\cos C+c\cos B=a\sin A，则△ABC\triangle ABC的形状为…
  2. 2在ΔABC\Delta ABC中，∠B=300,AC=25,D\angle B={{30}^{0}},AC=2\sqrt{5},D是ABAB边上的一点，CD=2CD=2，若∠ACD\angle ACD为锐角， ΔACD\Delta ACD的面积为44…
  3. 3已知aa，bb，cc是△ABC\triangle ABC中角AA，BB，CC的对边，SS是△ABC\triangle ABC的面积.若a2+c2=b2+aca^{2}+c^{2}=b^{2}+ac， ((Ⅰ…
  4. 4△ABC\triangle ABC中，角AA，BB，CC所对边分别为aa，bb，cc，a=2a=2，B=45∘B=45^{\circ}，①①当b=2b= \sqrt {2}时，三角形有 ___ 个…
  5. 5在△ABC\triangle ABC中，设边aa，bb，cc所对的角为AA，BB，CC，且AA，BB，CC都不是直角，(bc−8)cos⁡A+accos⁡B=a2−b2(bc-8)\cos A+ac\cos B=a^{2}-b^{2}…
  6. 6在△ABC\triangle ABC中，AB=122AB=12 \sqrt {2}，AC=13AC=13，cos⁡∠B=22\cos ∠B= \dfrac { \sqrt {2}}{2}，则BCBC边长为 ___ ．
  7. 7设GG是△ABC\triangle ABC的重心，且满足等式7sin⁡A⋅GA→+3sin⁡B⋅GB→+37sin⁡C⋅GC→=0→\sqrt{7}\sin A\cdot\overrightarrow {GA}+3\sin B\cdot\overrightarrow {GB}+3\sqrt{7}\sin C\cdot\overrightarrow {GC}=\overrightarrow {0}…
  8. 8已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0) \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)F_{1}(-c,0)，F2(c,0)F_{2}(c,0)，若椭圆上存在点PP使asin⁡∠PF1F2=csin⁡∠PF2F1 \dfrac {a}{\sin \angle PF_{1}F_{2}}= \dfrac {c}{\sin \angle PF_{2}F_{1}}…
  9. 9在∆ABC∆ABC 中，边，aa，bb，cc分别是角AA，BB，CC的对边，且满足等式bcos⁡C=(2a+c)xos(π−B)b\cos C=(2a+c)xos(π-B) ． (1)求角BB的大小;(2);(2)若b=13b= \sqrt{13} …
  10. 10在△ABC\triangle ABC中，aa，bb，cc分别是角AA，BB，CC的对边，且A=π3A=\dfrac{π}{3}，AB→⋅AC→=6\overrightarrow {AB}\boldsymbol{⋅}\overrightarrow {AC}=6…
  11. 11在△ABC\triangle ABC中，角AA，BB，CC的所对边分别为aa，bb，cc，若a2−b2=12c2a^{2}-b^{2}= \dfrac {1}{2}c^{2}，则2acos⁡Bc \dfrac {2a\cos B}{c}…
  12. 12测量塔高ABAB时，选取与塔底BB在同一水平面内的两个测量点CC与DD，现测得∠BCD=5π12{\rm∠}BCD=\dfrac{5π}{12}，∠BDC=π3{\rm∠}BDC=\dfrac{π}{3}，CD=100CD=100，在点CC…
  13. 13在ΔABC\Delta ABC中，a=2,cos⁡B=35.(1)a=2,\cos B=\dfrac{3}{5}.(1)若b=4b=4，求sin⁡A\sin A。 (2)若SΔABC=4{{S}_{\Delta ABC}}=4，求bb。
  14. 14已知△ABC\triangle ABC的内角AA，BB，CC的对边分别为aa，bb，cc，满足bcos⁡A+acos⁡B=2ccos⁡Bb\cos A+a\cos B=2c\cos B，b=23b=2\sqrt{3}，则△ABC\triangle ABC…
  15. 15设△ABC\vartriangle ABC的内角AA、BB、CC所对的边分别为aa，bb，cc，若asin⁡A=bcos⁡C+ccos⁡Ba\sin A=b\cos C+c\cos B，则△ABC\vartriangle ABC的形状为…
  16. 16设△ABC\triangle ABC的内角AA，BB，CC所对边的长分别为aa，bb，c.c.若sin⁡A=2sin⁡B\sin A=2\sin B，c=4,C=π3c=4,C= \dfrac {π}{3}，则△ABC\triangle ABC…
  17. 17在△ABC\triangle ABC中，三内角AA，BB，CC的对边分别为aa，bb，cc，面积为SS，若S+a2=(b+c)2S+a^{2}=(b+c)^{2}，则cos⁡A\cos A等于 ___ ．
  18. 18已知△ABC\triangle ABC的三边aa，bb，cc和面积SS满足S=a2−(b−c)2S=a^{2}-(b-c)^{2}，且b+c=8b+c=8． (1)求cos⁡A\cos A； (2)求SS的最大值．
  19. 19在△ABC\triangle ABC中，角AA，BB，CC的对边分别是aa，bb，cc，已知a2=b2+c2+bc{{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}+bc，则A=()A=(\quad) A. π3\dfrac{\pi}{3}…
  20. 20在△ABC\triangle ABC中，SS为△ABC\triangle ABC的面积，且S=12(b2+c2−a2)S= \dfrac {1}{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})，则tan⁡B+tan⁡C−2tan⁡Btan⁡C=()\tan B+\tan C-2\tan B\tan C=()…
  21. 21在三角形ABCABC中，AB=5AB=5，AC=3AC=3，BC=7BC=7，则∠BAC∠BAC大小为()() A. 2π3 \dfrac {2π}{3} B. 5π6 \dfrac {5π}{6} C. 3π4 \dfrac {3π}{4}…
  22. 22在△ABC\triangle ABC中，已知三个内角为AA，BB，CC满足sin⁡A\sin A：sin⁡B\sin B：sin⁡C=6\sin C=6：55：44，则sin⁡B=()\sin B=() A. 74 \dfrac { \sqrt {7}}{4}…
  23. 23在△ABC\vartriangle ABC中，DD，EE，FF分别是边BCBC，ACAC，ABAB中点，下列说法正确的是()(\quad) A. AB→+AC→−AD→=0→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}…
  24. 24在△ABC\triangle ABC中，c=2ac=2a，B=120∘B=120^{\circ}，且△ABC\triangle ABC面积为32 \dfrac { \sqrt {3}}{2}． (1)求bb的值； (2)求tan⁡A\tan A…
  25. 25在△ABC\triangle ABC中，角AA，BB，CC的对边分别为aa，bb，cc，asin⁡B−3bcos⁡Bcos⁡C=3ccos⁡2B.(1)a\sin B-\sqrt{3}b\cos B\cos C=\sqrt{3}c{\cos}^{2}B.(1)…
  26. 26在△ABC\triangle ABC中，A=60∘A=60^{\circ}，AB=2AB=2，且△ABC\triangle ABC的面积S△ABC=32S_{\triangle ABC}= \dfrac { \sqrt {3}}{2}，则边BCBC…
  27. 27在ΔABC\Delta ABC中，角AA，BB，CC所对的边分别为aa，bb，cc，若a=7a=7，b=5b=5，c=8c=8，则ΔABC\Delta ABC的面积SS等于 A. 10           10\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: …
  28. 28下列结论：正确的序号是 ___ ． ①△ABC①\triangle ABC中，若A>BA > B则一定有sin⁡A>sin⁡B\sin A > \sin B成立； ②②数列{an}\{a_{n}\}的前nn项和Sn=n2−2n+1S_{n}=n^{2}-2n+1…
  29. 29已知空间三点A(0,2,3)A(0,2,3)，B(−2,1,6)B(-2,1,6)，C(1,−1,5)C(1,-1,5)，则以ABAB，ACAC为边的平行四边形的面积是 ___ ．
  30. 30已知△ABC\triangle ABC的面积为32 \dfrac { \sqrt {3}}{2}，AC=3AC= \sqrt {3}，∠ABC=π3∠ABC= \dfrac {π}{3}，则△ABC\triangle ABC的周长等于 ___…
  31. 31△ABC\triangle ABC中，sin⁡Acos⁡A+sin⁡Bcos⁡B=2sin⁡Ccos⁡A \dfrac {\sin A}{\cos A}+ \dfrac {\sin B}{\cos B}= \sqrt {2} \dfrac {\sin C}{\cos A}． (1)求角BB的…
  32. 32已知△ABC\triangle ABC的内角AA，BB，CC所对的边长分别为aa，bb，cc，若aa，bb，cc成等差数列，且c=32ac= \dfrac {3}{2}a，则cos⁡B=()\cos B=()…
  33. 33已知△ABC\triangle ABC的外接圆半径为6\sqrt{6}中，已知∠B=45∘∠B=45^{\circ}， DD是BCBC边上的一点.若AD=1AD=1，AD→⋅AC→=3\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{AC}=\sqrt{3}…
  34. 34已知ΔABC\Delta ABC的面积S=a2−(b2+c2)S={{a}^{2}}-({{b}^{2}}+{{c}^{2}})，则cos⁡A\cos A等于()() A. −4-4 B. 1717\dfrac{\sqrt{17}}{17} C. ±1717\pm \dfrac{\sqrt{17}}{17}…
  35. 35设△ABC\triangle ABC的内角AA、BB、CC的对边分别为aa、bb、cc，已知c=3c=3，且sin⁡(C−π6)⋅cos⁡C=14\sin (C- \dfrac {π}{6})⋅\cos C= \dfrac {1}{4}…
  36. 36已知一个三角形的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的22倍，则该三角形的最小角的余弦值是()(\quad) A. 45\dfrac{4}{5} B. 34\dfrac{3}{4} C. 18\dfrac{1}{8}…
  37. 37已知钝角三角形ABCABC的面积是12 \dfrac {1}{2}，c=1c=1，a=2a= \sqrt {2}，则b=b= ___ ．
  38. 38已知F1F_{1}，F2F_{2}是椭圆和双曲线的公共焦点，MM是它们的一个公共点，且∠F1MF2=π3∠F_{1}MF_{2}=\dfrac{π}{3}，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()(\quad) A. 22…
  39. 39在△ABC\triangle ABC中，角AA、BB、CC所对应的边分别为aa、bb、cc，ca+b+ba+c=1\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{b}{a+c}=1，则B+C=()B+C=(\quad) A.…
  40. 40在锐角三角形ABC{A} {B} {C}中，tan⁡A=12\tan {A} =\dfrac{1}{2}，D{D}为边BC{B} {C}上的点，ΔABD\Delta {A} {B} {D}与ΔACD\Delta {A} {CD}的面积分…
  41. 41在钝角三角形ABCABC中，CC为钝角，AA为最小角，且2B=A+C.2B=A+C.设最大边长与最小边长的比值为mm，则mm的取值范围是(    )(\:\:\:\:) A. (1,2)(1 , 2) B. (2,+∞)(2 , +∞)…
  42. 42在△ABC\triangle ABC 中，已知 a=5a=5， b=7b=7， c=8c=8，则 A+C=A+C=( ) A. 150∘150^{\circ} B. 135∘135^{\circ} C. 120∘120^{\circ}…
  43. 43已知aa，bb，cc分别是△ABC\triangle ABC的三个内角AA，BB，CC所对的边，若b=23b=2 \sqrt {3}，三内角AA，BB，CC成等差数列，则该三角形的外接圆…
  44. 44设△ABC\vartriangle ABC的面积为SS，角AA，BB，CC的对边分别为aa，bb，c.c.若4S+a2=b2+c24S+{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}，则sin⁡C−cos⁡(B+π4)\sin C-\cos\left(B+\dfrac{π}{4}\right)…
  45. 45已知△ABC\triangle ABC中，a=1a=1，C=π4C= \dfrac {π}{4}，S△ABC=2aS_{\triangle ABC}=2a，则b=b= ___ ．
  46. 46在△ABC\triangle ABC中，aa，bb，cc分别是角AA，BB，CC的对边，已知3b−2ac=2cos⁡A−3cos⁡Bcos⁡C \dfrac {3b-2a}{c} = \dfrac {2\cos A-3\cos B}{\cos C}…
  47. 47若(a+b+c)⋅(b+c−a)=3bc\left( a+b+c \right)\cdot (b+c-a)=3bc，且sin⁡A=2sin⁡Bcos⁡C\sin A=2\sin B\cos C，那么ΔABC\Delta ABC是()() A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形…