已知$F_{1}$，$F_{2}$是椭圆和双曲线的公共焦点，$M$是它们的一个公共点，且$∠F_{1}MF_{2}=\dfrac{π}{3}$，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为$(\quad)$

A. $2$

B. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

C. $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$

D. $4$

1. 设出相关量，根据圆锥曲线定义表示焦半径关系

设椭圆的长半轴为 $a$，双曲线的实半轴为 $a_{1}$（其中 $a > a_{1}$），半焦距为 $c$。
记 $MF_{1} = r_{1}$，$MF_{2} = r_{2}$，焦距 $F_{1}F_{2} = 2c$。
由椭圆的定义可知：$r_{1} + r_{2} = 2a$；
由双曲线的定义及对称性可知：$|r_{1} - r_{2}| = 2a_{1}$。

2. 利用余弦定理建立焦半径与焦距的几何关系

在 $\triangle F_{1}MF_{2}$ 中，已知 $\angle F_{1}MF_{2} = \dfrac{\pi}{3}$。
由余弦定理得：
$|F_{1}F_{2}|^2 = r_{1}^2 + r_{2}^2 - 2r_{1}r_{2}\cos\dfrac{\pi}{3}$
即：
$4c^2 = r_{1}^2 + r_{2}^2 - r_{1}r_{2} \quad \text{①}$

3. 联立几何关系与椭圆、双曲线方程特征，求出离心率倒数的关系式

将椭圆定义式 $(r_{1} + r_{2})^2 = 4a^2$ 展开，得 $r_{1}^2 + r_{2}^2 = 4a^2 - 2r_{1}r_{2}$。代入①中得：
$4c^2 = 4a^2 - 3r_{1}r_{2} \implies \dfrac{3r_{1}r_{2}}{4c^2} = \dfrac{a^2}{c^2} - 1 = \dfrac{1}{e_{1}^2} - 1 \quad \text{②}$
将双曲线定义式 $(r_{1} - r_{2})^2 = 4a_{1}^2$ 展开，得 $r_{1}^2 + r_{2}^2 = 4a_{1}^2 + 2r_{1}r_{2}$。代入①中得：
$4c^2 = 4a_{1}^2 + r_{1}r_{2} \implies \dfrac{r_{1}r_{2}}{4c^2} = 1 - \dfrac{a_{1}^2}{c^2} = 1 - \dfrac{1}{e_{2}^2} \quad \text{③}$
联立②③两式，消去 $\dfrac{r_{1}r_{2}}{4c^2}$，得：
$\dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{e_{1}^2} - 1 \right) = 1 - \dfrac{1}{e_{2}^2} \implies \dfrac{1}{e_{1}^2} + \dfrac{3}{e_{2}^2} = 4$

4. 利用不等式求解离心率倒数之和的最大值

令 $x = \dfrac{1}{e_{1}}$，$y = \dfrac{1}{e_{2}}$。因为 $e_{1} \in (0,1)$，$e_{2} > 1$，所以 $x > 1$，$0 < y < 1$。
已知 $x^2 + 3y^2 = 4$，求 $x + y$ 的最大值。
根据柯西不等式：
$(x + y)^2 = \left( 1 \cdot x + \dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3}y \right)^2 \le \left( 1^2 + \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \right) (x^2 + 3y^2)$
$(x + y)^2 \le \left( 1 + \dfrac{1}{3} \right) \cdot 4 = \dfrac{16}{3}$
因此，$x + y \le \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
等号成立条件为 $\dfrac{x}{1} = \dfrac{\sqrt{3}y}{1/\sqrt{3}} \implies x = 3y$。
代入 $x^2 + 3y^2 = 4$ 得 $12y^2 = 4 \implies y = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \in (0,1)$，此时 $x = \sqrt{3} > 1$，符合题意。
所以椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$。