设$\vartriangle ABC$的面积为$S$，角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c.$若$4S+{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}$，则$\sin C-\cos\left(B+\dfrac{π}{4}\right)$取最大值时，$C=$___.

1. 由已知等式利用余弦定理和三角形面积公式求出角 $A$ 的大小

因为 $\vartriangle ABC$ 的面积为 $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$，
由余弦定理得 $b^2+c^2-a^2 = 2bc\cos A$.
将它们代入已知条件 $4S+a^2=b^2+c^2$，即 $4S = b^2+c^2-a^2$，得：
$4 \times \dfrac{1}{2}bc\sin A = 2bc\cos A$
化简可得：
$2bc\sin A = 2bc\cos A$
因为 $b,c > 0$，所以可以约去 $2bc$，得：
$\sin A = \cos A$
即 $\tan A = 1$.
因为 $A$ 为三角形的内角，即 $A \in (0, \pi)$，所以 $A = \dfrac{\pi}{4}$.

2. 利用三角形内角和定理消去变量 $B$，将待求代数式转化为关于角 $C$ 的一元表达式

由 $A = \dfrac{\pi}{4}$ 可得 $B+C = \pi - A = \dfrac{3\pi}{4}$，即 $B = \dfrac{3\pi}{4} - C$.
代入待求最值的代数式 $\sin C - \cos\left(B+\dfrac{\pi}{4}\right)$ 中，得到：
$\sin C - \cos\left(\dfrac{3\pi}{4} - C + \dfrac{\pi}{4}\right) = \sin C - \cos(\pi - C)$

3. 借助诱导公式和辅助角公式将表达式化简为单一的三角函数形式

利用诱导公式 $\cos(\pi - C) = -\cos C$，原式可化为：
$\sin C + \cos C$
利用辅助角公式化简得：
$\sqrt{2}\sin\left(C+\dfrac{\pi}{4}\right)$

4. 分析角 $C$ 的取值范围，求出正弦函数取得最大值时角 $C$ 的值

因为 $B = \dfrac{3\pi}{4} - C > 0$ 且 $C > 0$，所以 $0 < C < \dfrac{3\pi}{4}$.
从而可得 $\dfrac{\pi}{4} < C + \dfrac{\pi}{4} < \pi$.
当且仅当 $C + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$，即 $C = \dfrac{\pi}{4}$ 时，\sin\left(C+\dfrac{\pi}{4} ight) 取得最大值 $1$，此时原代数式取得最大值 $\sqrt{2}$.
因此，原式取最大值时 $C = \dfrac{\pi}{4}$.