若$\left( a+b+c \right)\cdot (b+c-a)=3bc$，且$\sin A=2\sin B\cos C$，那么$\Delta ABC$是$()$

A. 直角三角形

B. 等边三角形

C. 等腰三角形

D. 等腰直角三角形

1. 由第一个条件利用余弦定理求角 A 的度数

已知 $(a+b+c)(b+c-a) = 3bc$。
将左式写成 $[(b+c)+a][(b+c)-a]$ 并利用平方差公式展开：
$(b+c)^2 - a^2 = 3bc$
$b^2 + 2bc + c^2 - a^2 = 3bc$
$b^2 + c^2 - a^2 = bc$
根据余弦定理 $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$，代入上式得：
$\cos A = \dfrac{bc}{2bc} = \dfrac{1}{2}$
因为 $A \in (0^\circ, 180^\circ)$，所以 $A = 60^\circ$。

2. 由第二个条件推导角 B 和角 C 的相等关系

已知 $\sin A = 2\sin B\cos C$。
在 $\Delta ABC$ 中，由 $A + B + C = 180^\circ$ 得 $A = 180^\circ - (B + C)$，所以 $\sin A = \sin(B + C)$。
代入已知条件中得：
$\sin(B + C) = 2\sin B\cos C$
利用两角和的正弦公式展开左边：
$\sin B\cos C + \cos B\sin C = 2\sin B\cos C$
$\cos B\sin C - \sin B\cos C = 0$
$\sin(C - B) = 0$
因为 $B, C \in (0^\circ, 180^\circ)$，所以 $-180^\circ < C - B < 180^\circ$，从而 $C - B = 0^\circ$，即 $B = C$。

3. 结合步骤1和步骤2的结论判定三角形形状

由步骤 1 知 $A = 60^\circ$，由步骤 2 知 $B = C$。
结合 $A + B + C = 180^\circ$，可得：
$60^\circ + 2B = 180^\circ \implies B = C = 60^\circ$
因此 $\Delta ABC$ 的三个内角均等于 $60^\circ$，为等边三角形。
故正确选项为 B。