在$\vartriangle ABC$中，$D$，$E$，$F$分别是边$BC$，$AC$，$AB$中点，下列说法正确的是$(\quad)$

A. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}$

B. $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{0}$

C. 若$\dfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=\dfrac{\sqrt{3}\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|}$，则$\overrightarrow{BD}$是$\overrightarrow{BA}$在$\overrightarrow{BC}$的投影向量

D. 若点$P$是线段$AD$上的动点，且满足$\overrightarrow{BP}=\lambda\overrightarrow{BA}+\mu\overrightarrow{BC}$，则$\lambda\mu$的最大值为$\dfrac{1}{8}$

1. 判定选项A是否正确

在 $\triangle ABC$ 中，因为 $D$ 是 $BC$ 的中点，由向量的加法中线公式可得：
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}$
代入选项A中的表达式有：
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}$
由于 $\overrightarrow{AD} \neq \overrightarrow{0}$，因此 A 错误。

2. 判定选项B是否正确

设 $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b}$，$\overrightarrow{AC} = \mathbf{c}$。因为 $D, E, F$ 分别是 $BC, AC, AB$ 的中点，根据向量的线性运算，可以将各向量用基底 $\mathbf{b}, \mathbf{c}$ 表示为：
$\overrightarrow{DA} = -\frac{1}{2}(\mathbf{b}+\mathbf{c})$
$\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AE} = \mathbf{b} - \frac{1}{2}\mathbf{c}$
$\overrightarrow{FC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AF} = \mathbf{c} - \frac{1}{2}\mathbf{b}$
将上述三式相加得：
$\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{FC} = -\frac{1}{2}(\mathbf{b}+\mathbf{c}) + \left(\mathbf{b} - \frac{1}{2}\mathbf{c}\right) + \left(\mathbf{c} - \frac{1}{2}\mathbf{b}\right) = \mathbf{0}$
因此 B 正确。

3. 判定选项C是否正确

已知 $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=\dfrac{\sqrt{3}\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|}$。
因为 $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$ 与 $\dfrac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$ 是单位向量，它们的和的方向即为 $\angle BAC$ 的平分线方向。
而等式右边是中线 $\overrightarrow{AD}$ 方向上的向量，这说明 $\angle BAC$ 的平分线与中线 $AD$ 重合，所以 $\triangle ABC$ 为等腰三角形，且 $AB=AC$，$AD \perp BC$。
两边取模：左边模长为 $2\cos\frac{A}{2}$，右边模长为 $\sqrt{3}$。
可得 $2\cos\frac{A}{2} = \sqrt{3} \implies \cos\frac{A}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，由于 $0 < A < 180^\circ$，解得 $A = 60^\circ$。
因此 $\triangle ABC$ 是等边三角形。
$\overrightarrow{BA}$ 在 $\overrightarrow{BC}$ 上的投影向量为：
$\text{Proj}_{\overrightarrow{BC}}\overrightarrow{BA} = \frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|^2}\overrightarrow{BC} = \frac{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|\cos 60^\circ}{|\overrightarrow{BC}|^2}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD}$
因此 C 正确。

4. 判定选项D是否正确

因为 $D$ 是 $BC$ 的中点，所以 $\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BD}$。
代入已知等式得：
$\overrightarrow{BP} = \lambda\overrightarrow{BA} + 2\mu\overrightarrow{BD}$
因为点 $P$ 是线段 $AD$ 上的动点（含端点），所以 $A, P, D$ 三点共线。根据平面向量基本定理的推论，有：
$\lambda + 2\mu = 1 \quad (\lambda \ge 0, \mu \ge 0)$
根据基本不等式：
$1 = \lambda + 2\mu \ge 2\sqrt{2\lambda\mu}$
平方整理得：
$1 \ge 8\lambda\mu \implies \lambda\mu \le \frac{1}{8}$
当且仅当 $\lambda = 2\mu = \frac{1}{2}$（即 $\lambda = \frac{1}{2}, \mu = \frac{1}{4}$）时，等号成立。此时 $P$ 为线段 $AD$ 的中点，符合题意。
因此 $\lambda\mu$ 的最大值为 $\frac{1}{8}$，D 正确。
综上所述，正确的说法是 BCD。