已知空间三点$A(0,2,3)$，$B(-2,1,6)$，$C(1,-1,5)$，则以$AB$，$AC$为边的平行四边形的面积是 ___ ．

1. 求向量 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 的坐标及其模长

已知空间三点 $A(0,2,3)$，$B(-2,1,6)$，$C(1,-1,5)$，
可得向量：
$\overrightarrow{AB} = (-2-0, 1-2, 6-3) = (-2, -1, 3)$
$\overrightarrow{AC} = (1-0, -1-2, 5-3) = (1, -3, 2)$
进而求得两向量的模长为：
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{14}$
$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{14}$

2. 计算两向量的夹角余弦值

计算向量 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 的数量积：
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-2) \times 1 + (-1) \times (-3) + 3 \times 2 = -2 + 3 + 6 = 7$
由此可得夹角 $\angle BAC$ 的余弦值为：
$\cos \angle BAC = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = \frac{7}{\sqrt{14} \times \sqrt{14}} = \frac{1}{2}$

3. 求夹角正弦值并计算平行四边形面积

因为 $\angle BAC \in [0^\circ, 180^\circ]$，且 $\cos \angle BAC = \frac{1}{2}$，
所以 $\angle BAC = 60^\circ$（或直接由同角三角函数关系求得 $\sin \angle BAC = \sqrt{1 - \cos^2 \angle BAC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$）。
以 $AB$，$AC$ 为边的平行四边形面积为：
$S = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \sin \angle BAC = \sqrt{14} \times \sqrt{14} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}$