设$\{\overrightarrow {a},\overrightarrow {b},\overrightarrow {c}\}$是空间的一个基底，若$\overrightarrow {x}=\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}$，$\overrightarrow {y}=\overrightarrow {b}+\overrightarrow {c}$，$\overrightarrow {z}=\overrightarrow {c}+\overrightarrow {a}.$给出下列向量组可以作为空间的基底的是$($

A. $\{\overrightarrow {a},\overrightarrow {b},\overrightarrow {x}\}$

B. $\{\overrightarrow {x},\overrightarrow {y},\overrightarrow {z}\}$

C. $\{\overrightarrow {b},\overrightarrow {c},\overrightarrow {z}\}$

D. $\{\overrightarrow {x},\overrightarrow {y},\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}+\overrightarrow {c}\}$

1. 明确空间向量基底的定义与判定方法

根据空间向量基本定理，空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底。若三个向量共面，则它们不能作为基底。判断三个向量 $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ 是否共面，通常可以假设存在实数 $\lambda, \mu$ 使得 $\vec{w} = \lambda\vec{u} + \mu\vec{v}$。若该方程组有解，则共面；若无解，则不共面。

2. 分析选项 A 的向量组是否能作为基底

对于 A：因为 $\vec{x} = \vec{a} + \vec{b}$，所以向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{x}$ 共面，因此 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{x}\}$ 不能作为空间的一个基底。

3. 分析选项 B 的向量组是否能作为基底

对于 B：假设 $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$ 共面，则存在实数 $\lambda, \mu$ 使得 $\vec{z} = \lambda\vec{x} + \mu\vec{y}$。
将已知关系代入，得：
$\vec{c} + \vec{a} = \lambda(\vec{a} + \vec{b}) + \mu(\vec{b} + \vec{c}) = \lambda\vec{a} + (\lambda + \mu)\vec{b} + \mu\vec{c}$
因为 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个基底，所以它们线性无关，比较对应系数可得：
$\begin{cases} \lambda = 1 \\ \lambda + \mu = 0 \\ \mu = 1 \end{cases}$
该方程组显然无解，因此假设不成立，$\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$ 不共面，可以作为空间的一个基底。

4. 分析选项 C 的向量组是否能作为基底

对于 C：假设 $\vec{b}, \vec{c}, \vec{z}$ 共面，则存在实数 $\lambda, \mu$ 使得 $\vec{z} = \lambda\vec{b} + \mu\vec{c}$。
代入得：
$\vec{c} + \vec{a} = \lambda\vec{b} + \mu\vec{c}$
变形得：
$\vec{a} - \lambda\vec{b} + (1 - \mu)\vec{c} = \vec{0}$
因为 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是基底，所以其对应系数必须全为 $0$，即 $1 = 0$，矛盾。
因此假设不成立，$\vec{b}, \vec{c}, \vec{z}$ 不共面，可以作为空间的一个基底。

5. 分析选项 D 的向量组是否能作为基底

对于 D：设 $\vec{w} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$。假设 $\vec{x}, \vec{y}, \vec{w}$ 共面，则存在实数 $\lambda, \mu$ 使得 $\vec{w} = \lambda\vec{x} + \mu\vec{y}$。
代入得：
$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \lambda(\vec{a} + \vec{b}) + \mu(\vec{b} + \vec{c}) = \lambda\vec{a} + (\lambda + \mu)\vec{b} + \mu\vec{c}$
比较对应系数得：
$\begin{cases} \lambda = 1 \\ \lambda + \mu = 1 \\ \mu = 1 \end{cases}$
由第一、三式得 $\lambda+\mu = 2$，与第二式矛盾，方程组无解。
因此假设不成立，$\vec{x}, \vec{y}, \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ 不共面，可以作为空间的一个基底。

综上所述，可以作为空间基底的有 B, C, D 三个选项。（原题解析中指出 D 亦为基底，但最后结论处由于笔误漏写了 D，正确答案应为 BCD）。