已知△ABC\triangle ABC的面积为32 \dfrac { \sqrt {3}}{2},AC=3AC= \sqrt {3},∠ABC=π3∠ABC= \dfrac {π}{3},则△ABC\triangle ABC的周长等于 ___ .

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完整解法

1. 利用三角形面积公式求出 $AB \cdot BC$ 的值

由题意可得 △ABC\triangle ABC 的面积公式为:
S=12AB⋅BCsin⁡∠ABC=32S = \dfrac{1}{2} AB \cdot BC \sin \angle ABC = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

将 ∠ABC=π3\angle ABC = \dfrac{\pi}{3} 代入得:
12AB⋅BCsin⁡π3=32\dfrac{1}{2} AB \cdot BC \sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
12AB⋅BC⋅32=32\dfrac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
AB⋅BC=2AB \cdot BC = 2

2. 利用余弦定理求出 $AB^2 + BC^2$ 的值

根据余弦定理,有:
AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos⁡∠ABCAC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB \cdot BC \cos \angle ABC

将 AC=3AC = \sqrt{3},∠ABC=π3\angle ABC = \dfrac{\pi}{3} 及 AB⋅BC=2AB \cdot BC = 2 代入得:
(3)2=AB2+BC2−2⋅2cos⁡π3(\sqrt{3})^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot 2 \cos \dfrac{\pi}{3}
3=AB2+BC2−4⋅123 = AB^2 + BC^2 - 4 \cdot \dfrac{1}{2}
3=AB2+BC2−23 = AB^2 + BC^2 - 2
AB2+BC2=5AB^2 + BC^2 = 5

3. 利用完全平方公式求出 $AB + BC$ 的值

结合完全平方公式:
(AB+BC)2=AB2+BC2+2AB⋅BC(AB + BC)^2 = AB^2 + BC^2 + 2 AB \cdot BC

代入已知数值:
(AB+BC)2=5+2⋅2=9(AB + BC)^2 = 5 + 2 \cdot 2 = 9

因为线段长度 AB+BC>0AB + BC > 0,所以:
AB+BC=3AB + BC = 3

4. 计算三角形的周长

△ABC\triangle ABC 的周长为:
周长=AB+BC+AC=3+3\text{周长} = AB + BC + AC = 3 + \sqrt{3}

答案

3+33 + \sqrt{3}

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