在$\triangle ABC$中，$a$，$b$，$c$分别是角$A$，$B$，$C$的对边，已知$\dfrac {3b-2a}{c} = \dfrac {2\cos A-3\cos B}{\cos C}$． $($Ⅰ$)$求$\dfrac {\sin A}{\sin B}$的值； $($Ⅱ$)$若$\cos C=- \dfrac {1}{4}$，$c=8$，求$\triangle ABC$的面积．

1. 由正弦定理将已知等式中的边转化为角的正弦式

由正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$，已知等式 $\dfrac {3b-2a}{c} = \dfrac {2\cos A-3\cos B}{\cos C}$ 可化为：
$\dfrac{3\sin B - 2\sin A}{\sin C} = \dfrac{2\cos A - 3\cos B}{\cos C}$

2. 去分母并展开整理等式

对等式进行交叉相乘去分母，得：
$(3\sin B - 2\sin A)\cos C = (2\cos A - 3\cos B)\sin C$
展开得：
$3\sin B \cos C - 2\sin A \cos C = 2\cos A \sin C - 3\cos B \sin C$
移项整理得：
$3(\sin B \cos C + \cos B \sin C) = 2(\sin A \cos C + \cos A \sin C)$

3. 应用两角和的正弦公式及内角和性质化简

利用两角和的正弦公式将上式化为：
$3\sin(B+C) = 2\sin(A+C)$
因为在 $\triangle ABC$ 中，$A+B+C = \pi$，所以 $\sin(B+C) = \sin A$，$\sin(A+C) = \sin B$，
代入可得：
$3\sin A = 2\sin B$

4. 计算得到比例值

由 $3\sin A = 2\sin B$ 变形得：
$\dfrac{\sin A}{\sin B} = \dfrac{2}{3}$

1. 利用第(Ⅰ)问的结论建立边长比例关系

由第(Ⅰ)问结果，$\dfrac{\sin A}{\sin B} = \dfrac{2}{3}$
根据正弦定理，边长之比等于其对应角的正弦值之比，得：
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{\sin A}{\sin B} = \dfrac{2}{3}$
所以 $a = \dfrac{2}{3}b$

2. 应用余弦定理列方程求出边长

在 $\triangle ABC$ 中，已知 $c=8$，$\cos C = -\dfrac{1}{4}$
由余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$，代入得：

3. 求出角 C 的正弦值

因为 $C \in (0, \pi)$，且 $\cos C = -\dfrac{1}{4}$
所以 \sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C} = \sqrt{1 - \left(-\dfrac{1}{4} ight)^2} = \dfrac{\sqrt{15}}{4}

4. 计算三角形的面积

由三角形的面积公式得：
$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2}ab\sin C$
代入 $a=4$，$b=6$，$\sin C = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$，得：
$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 6 \times \dfrac{\sqrt{15}}{4} = 3\sqrt{15}$