在$\triangle ABC$中，角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，$a\sin B-\sqrt{3}b\cos B\cos C=\sqrt{3}c{\cos}^{2}B.(1)$求$B$； (2)设$D$为边$AC$上一点，$BD=3$，且___，求$\triangle ABC$面积的最小值． 从①$BD{\rm⊥}AC$，②${\rm∠}ABD={\rm∠}CBD$这两个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答． 注：如果选择①和②两个条件分别作答，则按照第一个解答计分．

1. 利用正弦定理将边角关系式转化为纯角关系式

在 $\triangle ABC$ 中，由正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ 可得：
$a = 2R\sin A, \quad b = 2R\sin B, \quad c = 2R\sin C$
代入已知条件 $a\sin B - \sqrt{3}b\cos B\cos C = \sqrt{3}c\cos^{2}B$ 中，并两边同除以 $2R$ 得：
$\sin A\sin B - \sqrt{3}\sin B\cos B\cos C = \sqrt{3}\sin C\cos^2 B$

2. 利用两角和的正弦公式进行化简

将等式右侧移项并提取公因式 $\sqrt{3}\cos B$：
$\sin A\sin B = \sqrt{3}\cos B(\sin B\cos C + \sin C\cos B)$
利用两角和的正弦公式，由于 $\sin B\cos C + \sin C\cos B = \sin(B+C)$，且在 $\triangle ABC$ 中，$\sin(B+C) = \sin(\pi - A) = \sin A$，
所以上式可化简为：
$\sin A\sin B = \sqrt{3}\cos B\sin A$

3. 求解三角方程求出角 B 的值

因为 $A \in (0, \pi)$，所以 $\sin A \neq 0$，等式两边同除以 $\sin A$ 得：
$\sin B = \sqrt{3}\cos B$
由于 $B \in (0, \pi)$，若 $\cos B = 0$ 则 $\sin B = 0$，这与 $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$ 矛盾，故 $\cos B \neq 0$。
两边同除以 $\cos B$ 得：
$\tan B = \sqrt{3}$
因为 $B \in (0, \pi)$，所以 $B = \frac{\pi}{3}$。

1. 若选择条件①：利用面积公式、余弦定理和基本不等式求出 ac 的范围

若选择 ① $BD \perp AC$：
在 $\triangle ABC$ 中，因为 $BD \perp AC$，所以面积 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} b \cdot BD = \frac{3}{2}b$。
根据三角形面积公式又有 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} ac \sin B = \frac{\sqrt{3}}{4}ac$。
因此 $\frac{3}{2}b = \frac{\sqrt{3}}{4}ac \implies b = \frac{\sqrt{3}}{6}ac$。
由余弦定理可得 $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B = a^2 + c^2 - ac$。
代入得：
$\frac{1}{12}a^2c^2 = a^2 + c^2 - ac$
由基本不等式 $a^2 + c^2 \ge 2ac$ 可得：
$\frac{1}{12}a^2c^2 \ge 2ac - ac = ac$
由于 $ac > 0$，两边同除以 $ac$ 得 $ac \ge 12$，当且仅当 $a = c = 2\sqrt{3}$ 时等号成立。

2. 若选择条件②：利用面积拆分和基本不等式求出 ac 的范围

若选择 ② $\angle ABD = \angle CBD$：
因为 $B = \frac{\pi}{3}$ 且 $BD$ 为 $\angle ABC$ 的角平分线，所以 $\angle ABD = \angle CBD = \frac{\pi}{6}$。
根据三角形面积的可加性，有 $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle CBD}$：
$\frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}c \cdot BD \sin\angle ABD + \frac{1}{2}a \cdot BD \sin\angle CBD$
代入 $BD = 3$ 得：
$\frac{\sqrt{3}}{4}ac = \frac{3}{4}c + \frac{3}{4}a \implies \sqrt{3}ac = 3(a+c)$
由基本不等式 $a+c \ge 2\sqrt{ac}$ 可得：
$\sqrt{3}ac = 3(a+c) \ge 6\sqrt{ac}$
由此可解得 $ac \ge 12$，当且仅当 $a = c = 2\sqrt{3}$ 时等号成立。

3. 计算三角形面积的最小值

综上，无论选择条件①还是②，均可求得 $ac \ge 12$。
因此，$\triangle ABC$ 面积的表达式为：
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{\sqrt{3}}{4}ac \ge \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12 = 3\sqrt{3}$
所以 $\triangle ABC$ 面积的最小值为 $3\sqrt{3}$。