在$\triangle ABC$中，角$A$、$B$、$C$所对应的边分别为$a$、$b$、$c$，$\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{b}{a+c}=1$，则$B+C=(\quad)$

A. $\dfrac{π}{3}$

B. $\dfrac{2π}{3}$

C. $\dfrac{π}{6}$

D. $\dfrac{π}{4}$

1. 对已知等式进行通分和化简，得到边之间的关系式

已知等式为 $\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{b}{a+c}=1$.
等式两边同乘以 $(a+b)(a+c)$，得：
$c(a+c) + b(a+b) = (a+b)(a+c)$
展开得：
$ac + c^2 + ab + b^2 = a^2 + ac + ab + bc$
两边消去相同项 $ac$ 和 $ab$，整理得：
$b^2 + c^2 - a^2 = bc$

2. 利用余弦定理求出角 A 的余弦值和大小

由余弦定理可得：
$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
代入 $b^2 + c^2 - a^2 = bc$，得：
$\cos A = \dfrac{bc}{2bc} = \dfrac{1}{2}$
因为 $A$ 为三角形的内角，即 $A \in (0, \pi)$，
所以 $A = \dfrac{\pi}{3}$.

3. 利用三角形内角和定理求出 B+C 的值

在 $\triangle ABC$ 中，$A + B + C = \pi$，
所以 $B + C = \pi - A = \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$.
故选：B.