在$\Delta ABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，若$a=7$，$b=5$，$c=8$，则$\Delta ABC$的面积$S$等于

A. $10\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:$

B. $10\sqrt{3}$

C. $20$

D. $20\sqrt{3}$

1. 利用余弦定理求出角 $C$ 的余弦值 $\cos C$

在 $\Delta ABC$ 中，由余弦定理得：
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
代入已知数据 $a=7, b=5, c=8$ 得：
$8^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \times 7 \times 5 \cos C$
$64 = 49 + 25 - 70 \cos C$
$70 \cos C = 10 \implies \cos C = \frac{1}{7}$

2. 利用同角三角函数基本关系式求出 $\sin C$

因为 $C$ 为 $\Delta ABC$ 的内角，所以 $C \in (0, \pi)$，则 $\sin C > 0$。
根据 $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$ 可得：
$\sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{7}\right)^2} = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

3. 利用三角形面积公式计算面积 $S$

由三角形面积公式可得：
$S = \frac{1}{2}ab \sin C$
代入数据计算：
$S = \frac{1}{2} \times 7 \times 5 \times \frac{4\sqrt{3}}{7} = 10\sqrt{3}$
因此，$\Delta ABC$ 的面积 $S$ 等于 $10\sqrt{3}$。
故选 B。