已知$\triangle ABC$的外接圆半径为$\sqrt{6}$中，已知$∠B=45^{\circ}$， $D$是$BC$边上的一点.若$AD=1$，$\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{AC}=\sqrt{3}$，则$CD$的长为___；

1. 利用正弦定理求出三角形AC边的长度

在$\triangle ABC$中，外接圆半径$R = \sqrt{6}$，$∠B = 45^{\circ}$。
根据正弦定理，有：
$AC = 2R \sin B = 2 \times \sqrt{6} \times \sin 45^{\circ} = 2\sqrt{6} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{3}$。

2. 利用向量线性运算及数量积计算CD的长度

由向量加减法的三角形法则，有$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}$。
两边平方可求得其模长平方：
$CD^2 = |\overrightarrow{CD}|^2 = |\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}|^2 = |\overrightarrow{AD}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 - 2\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC}$
已知$AD = 1$，即$|\overrightarrow{AD}|^2 = 1$；且$AC = 2\sqrt{3}$，则$|\overrightarrow{AC}|^2 = 12$；且$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} = \sqrt{3}$
代入上式计算可得：
$CD^2 = 1 + 12 - 2\sqrt{3} = 13 - 2\sqrt{3}$
因此，$CD = \sqrt{13 - 2\sqrt{3}}$。