已知一个三角形的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的$2$倍，则该三角形的最小角的余弦值是$(\quad)$

A. $\dfrac{4}{5}$

B. $\dfrac{3}{4}$

C. $\dfrac{1}{8}$

D. $\dfrac{\sqrt{7}}{7}$

1. 设出三角形的三边长与对应的最小角、最大角

设该三角形的三边长分别为 $n-1$，$n$，$n+1$（其中 $n \ge 2$ 且 $n \in \mathbb{N}^*$）。
根据大边对大角，小边对小角，设最小边 $a = n-1$ 对应的最小角为 $\alpha$，最大边 $c = n+1$ 对应的最大角为 $2\alpha$。

2. 利用正弦定理和二倍角公式建立 $\cos\alpha$ 与 $n$ 的关系式一

根据正弦定理有：
$\dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{c}{\sin 2\alpha} \implies \dfrac{n-1}{\sin\alpha} = \dfrac{n+1}{\sin 2\alpha}$
利用二倍角公式 $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$，代入上式得：
$\dfrac{n-1}{\sin\alpha} = \dfrac{n+1}{2\sin\alpha\cos\alpha}$
由于 $\sin\alpha \ne 0$，约去 $\sin\alpha$ 得：
$\cos\alpha = \dfrac{n+1}{2(n-1)} \quad \text{①}$

3. 利用余弦定理建立 $\cos\alpha$ 与 $n$ 的关系式二

在三角形中，由余弦定理，最小角 $\alpha$ 满足：
$\cos\alpha = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{n^2 + (n+1)^2 - (n-1)^2}{2n(n+1)}$
分子化简为：
$n^2 + (n^2 + 2n + 1) - (n^2 - 2n + 1) = n^2 + 4n = n(n+4)$
因此：
$\cos\alpha = \dfrac{n(n+4)}{2n(n+1)} = \dfrac{n+4}{2(n+1)} \quad \text{②}$

4. 联立两个关系式求解 $n$

由 ① 和 ② 相等得：
$\dfrac{n+1}{2(n-1)} = \dfrac{n+4}{2(n+1)}$
去分母得：
$(n+1)^2 = (n-1)(n+4)$
展开并化简：
$n^2 + 2n + 1 = n^2 + 3n - 4 \implies n = 5$

5. 计算最小角的余弦值并选择正确选项

将 $n = 5$ 代入 ① 式（或 ② 式）中得：
$\cos\alpha = \dfrac{5+1}{2(5-1)} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$
因此，最小角的余弦值为 $\dfrac{3}{4}$。
对应选项 B。