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Vector applications and solving triangles

Use vectors to solve geometric, mechanical, and practical problems, and derive and apply the law of cosines and law of sines to solve triangles.

Practice questions

  1. 18.8.设△ABC\triangle ABC的内角AA，BB，CC所对的边分别为aa，bb，cc，若bcos⁡C+ccos⁡B=asin⁡Ab\cos C+c\cos B=a\sin A，则△ABC\triangle ABC的形状为…
  2. 2在ΔABC\Delta ABC中，∠B=300,AC=25,D\angle B={{30}^{0}},AC=2\sqrt{5},D是ABAB边上的一点，CD=2CD=2，若∠ACD\angle ACD为锐角， ΔACD\Delta ACD的面积为44…
  3. 3已知aa，bb，cc是△ABC\triangle ABC中角AA，BB，CC的对边，SS是△ABC\triangle ABC的面积.若a2+c2=b2+aca^{2}+c^{2}=b^{2}+ac， ((Ⅰ…
  4. 4△ABC\triangle ABC中，角AA，BB，CC所对边分别为aa，bb，cc，a=2a=2，B=45∘B=45^{\circ}，①①当b=2b= \sqrt {2}时，三角形有 ___ 个…
  5. 5在△ABC\triangle ABC中，设边aa，bb，cc所对的角为AA，BB，CC，且AA，BB，CC都不是直角，(bc−8)cos⁡A+accos⁡B=a2−b2(bc-8)\cos A+ac\cos B=a^{2}-b^{2}…
  6. 6在△ABC\triangle ABC中，AB=122AB=12 \sqrt {2}，AC=13AC=13，cos⁡∠B=22\cos ∠B= \dfrac { \sqrt {2}}{2}，则BCBC边长为 ___ ．
  7. 7设GG是△ABC\triangle ABC的重心，且满足等式7sin⁡A⋅GA→+3sin⁡B⋅GB→+37sin⁡C⋅GC→=0→\sqrt{7}\sin A\cdot\overrightarrow {GA}+3\sin B\cdot\overrightarrow {GB}+3\sqrt{7}\sin C\cdot\overrightarrow {GC}=\overrightarrow {0}…
  8. 8已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0) \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)F_{1}(-c,0)，F2(c,0)F_{2}(c,0)，若椭圆上存在点PP使asin⁡∠PF1F2=csin⁡∠PF2F1 \dfrac {a}{\sin \angle PF_{1}F_{2}}= \dfrac {c}{\sin \angle PF_{2}F_{1}}…
  9. 9在∆ABC∆ABC 中，边，aa，bb，cc分别是角AA，BB，CC的对边，且满足等式bcos⁡C=(2a+c)xos(π−B)b\cos C=(2a+c)xos(π-B) ． (1)求角BB的大小;(2);(2)若b=13b= \sqrt{13} …
  10. 10在△ABC\triangle ABC中，aa，bb，cc分别是角AA，BB，CC的对边，且A=π3A=\dfrac{π}{3}，AB→⋅AC→=6\overrightarrow {AB}\boldsymbol{⋅}\overrightarrow {AC}=6…
  11. 11在△ABC\triangle ABC中，角AA，BB，CC的所对边分别为aa，bb，cc，若a2−b2=12c2a^{2}-b^{2}= \dfrac {1}{2}c^{2}，则2acos⁡Bc \dfrac {2a\cos B}{c}…
  12. 12测量塔高ABAB时，选取与塔底BB在同一水平面内的两个测量点CC与DD，现测得∠BCD=5π12{\rm∠}BCD=\dfrac{5π}{12}，∠BDC=π3{\rm∠}BDC=\dfrac{π}{3}，CD=100CD=100，在点CC…
  13. 13在ΔABC\Delta ABC中，a=2,cos⁡B=35.(1)a=2,\cos B=\dfrac{3}{5}.(1)若b=4b=4，求sin⁡A\sin A。 (2)若SΔABC=4{{S}_{\Delta ABC}}=4，求bb。
  14. 14已知△ABC\triangle ABC的内角AA，BB，CC的对边分别为aa，bb，cc，满足bcos⁡A+acos⁡B=2ccos⁡Bb\cos A+a\cos B=2c\cos B，b=23b=2\sqrt{3}，则△ABC\triangle ABC…
  15. 15设△ABC\vartriangle ABC的内角AA、BB、CC所对的边分别为aa，bb，cc，若asin⁡A=bcos⁡C+ccos⁡Ba\sin A=b\cos C+c\cos B，则△ABC\vartriangle ABC的形状为…
  16. 16设△ABC\triangle ABC的内角AA，BB，CC所对边的长分别为aa，bb，c.c.若sin⁡A=2sin⁡B\sin A=2\sin B，c=4,C=π3c=4,C= \dfrac {π}{3}，则△ABC\triangle ABC…
  17. 17在△ABC\triangle ABC中，三内角AA，BB，CC的对边分别为aa，bb，cc，面积为SS，若S+a2=(b+c)2S+a^{2}=(b+c)^{2}，则cos⁡A\cos A等于 ___ ．
  18. 18已知△ABC\triangle ABC的三边aa，bb，cc和面积SS满足S=a2−(b−c)2S=a^{2}-(b-c)^{2}，且b+c=8b+c=8． (1)求cos⁡A\cos A； (2)求SS的最大值．
  19. 19在△ABC\triangle ABC中，角AA，BB，CC的对边分别是aa，bb，cc，已知a2=b2+c2+bc{{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}+bc，则A=()A=(\quad) A. π3\dfrac{\pi}{3}…
  20. 20在△ABC\triangle ABC中，SS为△ABC\triangle ABC的面积，且S=12(b2+c2−a2)S= \dfrac {1}{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})，则tan⁡B+tan⁡C−2tan⁡Btan⁡C=()\tan B+\tan C-2\tan B\tan C=()…
  21. 21在三角形ABCABC中，AB=5AB=5，AC=3AC=3，BC=7BC=7，则∠BAC∠BAC大小为()() A. 2π3 \dfrac {2π}{3} B. 5π6 \dfrac {5π}{6} C. 3π4 \dfrac {3π}{4}…
  22. 22在△ABC\triangle ABC中，已知三个内角为AA，BB，CC满足sin⁡A\sin A：sin⁡B\sin B：sin⁡C=6\sin C=6：55：44，则sin⁡B=()\sin B=() A. 74 \dfrac { \sqrt {7}}{4}…
  23. 23在△ABC\vartriangle ABC中，DD，EE，FF分别是边BCBC，ACAC，ABAB中点，下列说法正确的是()(\quad) A. AB→+AC→−AD→=0→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}…
  24. 24在△ABC\triangle ABC中，c=2ac=2a，B=120∘B=120^{\circ}，且△ABC\triangle ABC面积为32 \dfrac { \sqrt {3}}{2}． (1)求bb的值； (2)求tan⁡A\tan A…
  25. 25在△ABC\triangle ABC中，角AA，BB，CC的对边分别为aa，bb，cc，asin⁡B−3bcos⁡Bcos⁡C=3ccos⁡2B.(1)a\sin B-\sqrt{3}b\cos B\cos C=\sqrt{3}c{\cos}^{2}B.(1)…
  26. 26在△ABC\triangle ABC中，A=60∘A=60^{\circ}，AB=2AB=2，且△ABC\triangle ABC的面积S△ABC=32S_{\triangle ABC}= \dfrac { \sqrt {3}}{2}，则边BCBC…
  27. 27在ΔABC\Delta ABC中，角AA，BB，CC所对的边分别为aa，bb，cc，若a=7a=7，b=5b=5，c=8c=8，则ΔABC\Delta ABC的面积SS等于 A. 10           10\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: …
  28. 28下列结论：正确的序号是 ___ ． ①△ABC①\triangle ABC中，若A>BA > B则一定有sin⁡A>sin⁡B\sin A > \sin B成立； ②②数列{an}\{a_{n}\}的前nn项和Sn=n2−2n+1S_{n}=n^{2}-2n+1…
  29. 29已知空间三点A(0,2,3)A(0,2,3)，B(−2,1,6)B(-2,1,6)，C(1,−1,5)C(1,-1,5)，则以ABAB，ACAC为边的平行四边形的面积是 ___ ．
  30. 30已知△ABC\triangle ABC的面积为32 \dfrac { \sqrt {3}}{2}，AC=3AC= \sqrt {3}，∠ABC=π3∠ABC= \dfrac {π}{3}，则△ABC\triangle ABC的周长等于 ___…
  31. 31△ABC\triangle ABC中，sin⁡Acos⁡A+sin⁡Bcos⁡B=2sin⁡Ccos⁡A \dfrac {\sin A}{\cos A}+ \dfrac {\sin B}{\cos B}= \sqrt {2} \dfrac {\sin C}{\cos A}． (1)求角BB的…
  32. 32已知△ABC\triangle ABC的内角AA，BB，CC所对的边长分别为aa，bb，cc，若aa，bb，cc成等差数列，且c=32ac= \dfrac {3}{2}a，则cos⁡B=()\cos B=()…
  33. 33已知△ABC\triangle ABC的外接圆半径为6\sqrt{6}中，已知∠B=45∘∠B=45^{\circ}， DD是BCBC边上的一点.若AD=1AD=1，AD→⋅AC→=3\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{AC}=\sqrt{3}…
  34. 34已知ΔABC\Delta ABC的面积S=a2−(b2+c2)S={{a}^{2}}-({{b}^{2}}+{{c}^{2}})，则cos⁡A\cos A等于()() A. −4-4 B. 1717\dfrac{\sqrt{17}}{17} C. ±1717\pm \dfrac{\sqrt{17}}{17}…
  35. 35设△ABC\triangle ABC的内角AA、BB、CC的对边分别为aa、bb、cc，已知c=3c=3，且sin⁡(C−π6)⋅cos⁡C=14\sin (C- \dfrac {π}{6})⋅\cos C= \dfrac {1}{4}…
  36. 36已知一个三角形的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的22倍，则该三角形的最小角的余弦值是()(\quad) A. 45\dfrac{4}{5} B. 34\dfrac{3}{4} C. 18\dfrac{1}{8}…
  37. 37已知钝角三角形ABCABC的面积是12 \dfrac {1}{2}，c=1c=1，a=2a= \sqrt {2}，则b=b= ___ ．
  38. 38已知F1F_{1}，F2F_{2}是椭圆和双曲线的公共焦点，MM是它们的一个公共点，且∠F1MF2=π3∠F_{1}MF_{2}=\dfrac{π}{3}，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()(\quad) A. 22…
  39. 39在△ABC\triangle ABC中，角AA、BB、CC所对应的边分别为aa、bb、cc，ca+b+ba+c=1\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{b}{a+c}=1，则B+C=()B+C=(\quad) A.…
  40. 40在锐角三角形ABC{A} {B} {C}中，tan⁡A=12\tan {A} =\dfrac{1}{2}，D{D}为边BC{B} {C}上的点，ΔABD\Delta {A} {B} {D}与ΔACD\Delta {A} {CD}的面积分…
  41. 41在钝角三角形ABCABC中，CC为钝角，AA为最小角，且2B=A+C.2B=A+C.设最大边长与最小边长的比值为mm，则mm的取值范围是(    )(\:\:\:\:) A. (1,2)(1 , 2) B. (2,+∞)(2 , +∞)…
  42. 42在△ABC\triangle ABC 中，已知 a=5a=5， b=7b=7， c=8c=8，则 A+C=A+C=( ) A. 150∘150^{\circ} B. 135∘135^{\circ} C. 120∘120^{\circ}…
  43. 43已知aa，bb，cc分别是△ABC\triangle ABC的三个内角AA，BB，CC所对的边，若b=23b=2 \sqrt {3}，三内角AA，BB，CC成等差数列，则该三角形的外接圆…
  44. 44设△ABC\vartriangle ABC的面积为SS，角AA，BB，CC的对边分别为aa，bb，c.c.若4S+a2=b2+c24S+{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}，则sin⁡C−cos⁡(B+π4)\sin C-\cos\left(B+\dfrac{π}{4}\right)…
  45. 45已知△ABC\triangle ABC中，a=1a=1，C=π4C= \dfrac {π}{4}，S△ABC=2aS_{\triangle ABC}=2a，则b=b= ___ ．
  46. 46在△ABC\triangle ABC中，aa，bb，cc分别是角AA，BB，CC的对边，已知3b−2ac=2cos⁡A−3cos⁡Bcos⁡C \dfrac {3b-2a}{c} = \dfrac {2\cos A-3\cos B}{\cos C}…
  47. 47若(a+b+c)⋅(b+c−a)=3bc\left( a+b+c \right)\cdot (b+c-a)=3bc，且sin⁡A=2sin⁡Bcos⁡C\sin A=2\sin B\cos C，那么ΔABC\Delta ABC是()() A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形…