在钝角三角形$ABC$中，$C$为钝角，$A$为最小角，且$2B=A+C.$设最大边长与最小边长的比值为$m$，则$m$的取值范围是$(\:\:\:\:)$

A. $(1 , 2)$

B. $(2 , +∞)$

C. $[3 , +∞)$

D. $(3 , +∞)$

1. 确定三角形内角 $B$ 的度数及 $A$ 与 $C$ 的数量关系

在 $\triangle ABC$ 中，因为 $A+B+C = 180^\circ$，且已知 $2B = A+C$，
将 $A+C = 2B$ 代入内角和公式得：
$2B + B = 180^\circ \implies 3B = 180^\circ \implies B = 60^\circ$
进而有 $A+C = 120^\circ$。

2. 确定最小角 $A$ 的取值范围

因为 $\triangle ABC$ 为钝角三角形且 $C$ 为钝角，所以 $C > 90^\circ$。
又因为 $A+C = 120^\circ$，所以 $A = 120^\circ - C$。
结合 $C > 90^\circ$ 且 $A > 0^\circ$，可得：
$0^\circ < A < 30^\circ$

3. 用正弦定理将边长比值 $m$ 转化为角 $A$ 的三角函数式

由于 $A < B = 60^\circ < C$，可知 $A$ 为最小角，$C$ 为最大角。
因此最小边为 $a$，最大边为 $c$。
由正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{c}{\sin C}$ 可得，最大边长与最小边长的比值 $m$ 为：
$m = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sin C}{\sin A}$

4. 化简三角函数式并求解 $m$ 的取值范围

将 $C = 120^\circ - A$ 代入比值式中，利用两角和与差的正弦公式化简：
$m = \dfrac{\sin(120^\circ - A)}{\sin A} = \dfrac{\sin 120^\circ \cos A - \cos 120^\circ \sin A}{\sin A}$
$m = \dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cos A + \frac{1}{2} \sin A}{\sin A} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cot A + \frac{1}{2}$
因为 $A \in (0^\circ, 30^\circ)$，所以 $\cot A \in (\sqrt{3}, +\infty)$。
由此可得：
$m > \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} + \frac{1}{2} = 2$
因此 $m$ 的取值范围是 $(2, +\infty)$。
对照选项，B 正确。