在$\triangle ABC$中，$A=90°$，$AB=1$，$AC=2.$设点$P$，$Q$满足$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}=(1-λ)\overrightarrow{AC}$，$λ\in R.$若$\overrightarrow{BQ}·\overrightarrow{CP}=-2$，则$λ$等于$(\quad)$

A. $\dfrac{1}{3}$

B. $\dfrac{2}{3}$

C. $\dfrac{4}{3}$

D. $2$

1. 用基底向量 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 表示向量 $\overrightarrow{BQ}$ 和 $\overrightarrow{CP}$

根据向量减法的三角形法则与已知条件：
$\overrightarrow{AP} = \lambda\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{AQ} = (1-\lambda)\overrightarrow{AC}$
我们可以将 $\overrightarrow{BQ}$ 和 $\overrightarrow{CP}$ 展开为：
$\overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AB} = (1-\lambda)\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC} = \lambda\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$

2. 利用数量积运算律和垂直条件化简 $\overrightarrow{BQ} \cdot \overrightarrow{CP}$

因为在 $\triangle ABC$ 中，$A=90^\circ$，所以 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$.
已知 $AB=1$，$AC=2$，得 $\overrightarrow{AB}^2 = 1$，$\overrightarrow{AC}^2 = 4$.
计算数量积：
$\overrightarrow{BQ} \cdot \overrightarrow{CP} = \left((1-\lambda)\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\right) \cdot \left(\lambda\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\right)$
$= \lambda(1-\lambda)\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} - (1-\lambda)\overrightarrow{AC}^2 - \lambda\overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$
代入相应的值：
$\overrightarrow{BQ} \cdot \overrightarrow{CP} = 0 - 4(1-\lambda) - \lambda + 0 = 3\lambda - 4$

3. 根据已知数量积的值求解 $\lambda$

由题意知 $\overrightarrow{BQ} \cdot \overrightarrow{CP} = -2$，则：
$3\lambda - 4 = -2$
解得：
$\lambda = \dfrac{2}{3}$

因此，正确选项为 B.