设两个向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，满足$|\overrightarrow{a} |=2$，$|\overrightarrow{b} |=1$ ． (1)若$(\overrightarrow{a} +2\overrightarrow{b} )·(\overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} )=1$，求$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角． (2)若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角为$60^{\circ}$，向量$2t\overrightarrow{a} +7\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a} +t\overrightarrow{b}$的夹角为钝角，求实数$t$的取值范围．

1. 展开已知的向量数量积等式

由 $(\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = 1$，展开可得：
$\overrightarrow{a}^2 + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{b}^2 = 1$
即
$|\overrightarrow{a}|^2 + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - 2|\overrightarrow{b}|^2 = 1$

2. 代入已知模长求出向量的数量积

将 $|\overrightarrow{a}| = 2$，$|\overrightarrow{b}| = 1$ 代入上式中：
$2^2 + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - 2 \times 1^2 = 1$
$4 + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - 2 = 1 \implies \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -1$

3. 利用数量积的夹角公式求出夹角

设 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 的夹角为 $\theta$（其中 $0 \le \theta \le \pi$），则：
$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|} = \frac{-1}{2 \times 1} = -\frac{1}{2}$
由于 $\theta \in [0, \pi]$，所以 $\theta = \frac{2\pi}{3}$（或 $120^\circ$）。

1. 计算在夹角为60度条件下的向量数量积

由于 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 的夹角为 $60^\circ$，且 $|\overrightarrow{a}| = 2$，$|\overrightarrow{b}| = 1$，可得：
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos 60^\circ = 2 \times 1 \times \frac{1}{2} = 1$

2. 建立夹角为钝角的数量积不等式并求解一元二次不等式

两向量夹角为钝角，需要它们的数量积小于 0 且不能反向共线。
计算数量积：
$(2t\overrightarrow{a} + 7\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}) < 0$
$2t|\overrightarrow{a}|^2 + (2t^2 + 7)\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + 7t|\overrightarrow{b}|^2 < 0$
代入 $|\overrightarrow{a}|^2 = 4$，$|\overrightarrow{b}|^2 = 1$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1$ 得：
$2t(4) + (2t^2 + 7)(1) + 7t(1) < 0$
$2t^2 + 15t + 7 < 0$
即 $(2t + 1)(t + 7) < 0$
解得 $-7 < t < -\frac{1}{2}$

3. 考虑并排除反向共线（夹角为180度）的情况

若两向量反向共线，则它们的夹角为 $180^\circ$（平角），而钝角不包含平角，因此需要排除此情况。
设 $2t\overrightarrow{a} + 7\overrightarrow{b} = \lambda (\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b})$，其中 $\lambda < 0$。
因为 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 不共线，所以：
$\begin{cases} 2t = \lambda \\ 7 = \lambda t \end{cases}$
消去 $\lambda$ 得 $7 = 2t^2$，解得 $t = \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$。
因为 $\lambda = 2t < 0$，所以 $t = -\frac{\sqrt{14}}{2}$。
因为 $-7 < -\frac{\sqrt{14}}{2} < -\frac{1}{2}$，所以必须在区间内排除此值。
综上所述，实数 $t$ 的取值范围为 $(-7, -\frac{\sqrt{14}}{2}) \cup (-\frac{\sqrt{14}}{2}, -\frac{1}{2})$。