1. 利用向量关系判定四边形 $F_1OMP$ 的几何形状
由已知条件 F1O=PM 可知,四边形 F1OMP 是平行四边形。
又因为 OP=λ(∣OF1∣OF1+∣OM∣OM) 且 λ>0,
其中 ∣OF1∣OF1 与 ∣OM∣OM 分别是沿 OF1 和 OM 方向的单位向量,它们的和向量位于 ∠F1OM 的角平分线上。
由于 OP 与此和向量共线且同向,说明对角线 OP 平分内角 ∠F1OM。
根据“角平分线对角线判定定理”,邻边相等的平行四边形是菱形,可知平行四边形 F1OMP 为菱形。
因此,邻边长度相等,即 ∣OM∣=∣OF1∣=c。
2. 用双曲线参数表示出点 $M$ 与点 $P$ 的坐标
设双曲线的焦点为 F1(−c,0),右准线方程为 x=ca2。
因为点 M 在右准线上,所以其横坐标为 xM=ca2。
由于 ∣OM∣=c,由两点间距离公式得:
xM2+yM2=c2⟹(ca2)2+yM2=c2⟹yM2=c2−c2a4。
因为 F1O=PM=(c,0),所以点 P 与点 M 的纵坐标相同,且横坐标满足 xM−xP=c。
由此可得 xP=xM−c=ca2−c=−cb2,且 yP2=yM2=c2−c2a4。
3. 将点 $P$ 的坐标代入双曲线方程中,求出离心率 $e$
将点 P(xP,yP) 的坐标代入双曲线方程 a2x2−b2y2=1,得:
a2(−cb2)2−b2c2−c2a4=1
化简得:
a2c2b4−b2c2−c2a4=1
两边同乘以 a2b2c2:
b6−a2c4+a6=a2b2c2
将 b2=c2−a2 代入上式中整理,得:
(c2−a2)3−a2c4+a6=a2(c2−a2)c2
展开并合并同类项,化简得:
c6−5a2c4+4a4c2=0
由于 c=0,两边同除以 a4c2,得:
(ac)4−5(ac)2+4=0
即 e4−5e2+4=0。
解得 e2=4 或 e2=1(因双曲线的离心率 e>1,舍去)。
由于 e>0,所以该双曲线的离心率 e=2。
故正确选项为 C。