若F1F_{1}、F2F_{2}为双曲线x2a2−y2b2=1 \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1的左、右焦点,OO为坐标原点,点PP在双曲线的左支上,点MM在双曲线的右准线上,且满足F1O→=PM→,  OP→=λ(OF1→∣OF→1∣+OM→∣OM→∣)(λ>0) \overrightarrow{F_{1}O}= \overrightarrow{PM},\; \overrightarrow{OP}=λ( \dfrac { \overrightarrow{OF_{1}}}{| \overrightarrow{OF}_{1}|}+ \dfrac { \overrightarrow{OM}}{| \overrightarrow{OM}|})(λ > 0),则该双曲线的离心率为()()
A. 2 \sqrt {2}
B. 3 \sqrt {3}
C. 22
D. 33

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完整解法

1. 利用向量关系判定四边形 $F_1OMP$ 的几何形状

由已知条件 F1O→=PM→\overrightarrow{F_{1}O} = \overrightarrow{PM} 可知,四边形 F1OMPF_{1}OMP 是平行四边形。
又因为 OP→=λ(OF1→∣OF1→∣+OM→∣OM→∣)\overrightarrow{OP} = \lambda \left( \dfrac{\overrightarrow{OF_{1}}}{|\overrightarrow{OF_{1}}|} + \dfrac{\overrightarrow{OM}}{|\overrightarrow{OM}|} \right) 且 λ>0\lambda > 0,
其中 OF1→∣OF1→∣\dfrac{\overrightarrow{OF_{1}}}{|\overrightarrow{OF_{1}}|} 与 OM→∣OM→∣\dfrac{\overrightarrow{OM}}{|\overrightarrow{OM}|} 分别是沿 OF1OF_1 和 OMOM 方向的单位向量,它们的和向量位于 ∠F1OM\angle F_1OM 的角平分线上。
由于 OP→\overrightarrow{OP} 与此和向量共线且同向,说明对角线 OPOP 平分内角 ∠F1OM\angle F_1OM。
根据“角平分线对角线判定定理”,邻边相等的平行四边形是菱形,可知平行四边形 F1OMPF_{1}OMP 为菱形。
因此,邻边长度相等,即 ∣OM∣=∣OF1∣=c|OM| = |OF_{1}| = c。

2. 用双曲线参数表示出点 $M$ 与点 $P$ 的坐标

设双曲线的焦点为 F1(−c,0)F_1(-c, 0),右准线方程为 x=a2cx = \dfrac{a^2}{c}。
因为点 MM 在右准线上,所以其横坐标为 xM=a2cx_M = \dfrac{a^2}{c}。
由于 ∣OM∣=c|OM| = c,由两点间距离公式得:
xM2+yM2=c2  ⟹  (a2c)2+yM2=c2  ⟹  yM2=c2−a4c2x_M^2 + y_M^2 = c^2 \implies \left(\dfrac{a^2}{c}\right)^2 + y_M^2 = c^2 \implies y_M^2 = c^2 - \dfrac{a^4}{c^2}。
因为 F1O→=PM→=(c,0)\overrightarrow{F_{1}O} = \overrightarrow{PM} = (c, 0),所以点 PP 与点 MM 的纵坐标相同,且横坐标满足 xM−xP=cx_M - x_P = c。
由此可得 xP=xM−c=a2c−c=−b2cx_P = x_M - c = \dfrac{a^2}{c} - c = -\dfrac{b^2}{c},且 yP2=yM2=c2−a4c2y_P^2 = y_M^2 = c^2 - \dfrac{a^4}{c^2}。

3. 将点 $P$ 的坐标代入双曲线方程中,求出离心率 $e$

将点 P(xP,yP)P(x_P, y_P) 的坐标代入双曲线方程 x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1,得:
(−b2c)2a2−c2−a4c2b2=1\dfrac{\left(-\dfrac{b^2}{c}\right)^2}{a^2} - \dfrac{c^2 - \dfrac{a^4}{c^2}}{b^2} = 1
化简得:
b4a2c2−c2−a4c2b2=1\dfrac{b^4}{a^2 c^2} - \dfrac{c^2 - \dfrac{a^4}{c^2}}{b^2} = 1
两边同乘以 a2b2c2a^2 b^2 c^2:
b6−a2c4+a6=a2b2c2b^6 - a^2 c^4 + a^6 = a^2 b^2 c^2
将 b2=c2−a2b^2 = c^2 - a^2 代入上式中整理,得:
(c2−a2)3−a2c4+a6=a2(c2−a2)c2(c^2 - a^2)^3 - a^2 c^4 + a^6 = a^2 (c^2 - a^2) c^2
展开并合并同类项,化简得:
c6−5a2c4+4a4c2=0c^6 - 5a^2 c^4 + 4a^4 c^2 = 0
由于 c≠0c \neq 0,两边同除以 a4c2a^4 c^2,得:
(ca)4−5(ca)2+4=0\left(\dfrac{c}{a}\right)^4 - 5\left(\dfrac{c}{a}\right)^2 + 4 = 0
即 e4−5e2+4=0e^4 - 5e^2 + 4 = 0。
解得 e2=4e^2 = 4 或 e2=1e^2 = 1(因双曲线的离心率 e>1e > 1,舍去)。
由于 e>0e > 0,所以该双曲线的离心率 e=2e = 2。
故正确选项为 C。

答案

C

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