设双曲线$C$：$\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left(a>0,b>0\right)$的左、右焦点分别为${{F}_{1}}$，${{F}_{2}}$，过${{F}_{1}}$的直线$l$分别与双曲线左右两支交于$M$，$N$两点，以$MN$为直径的圆过${{F}_{2}}$，且$\overrightarrow{M{{F}_{2}}}\cdot\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}{{\overrightarrow{MN}}^{2}}$，则直线$l$的斜率为

A. $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

1. 由向量数量积与圆的性质确定 $\triangle MF_2N$ 的形状

因为 $MN$ 为圆的直径，且圆过点 $F_2$，所以 $\angle MF_2N = 90^\circ$，即 $\overrightarrow{MF_2} \perp \overrightarrow{NF_2}$。
由向量加法有 $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MF_2} + \overrightarrow{F_2N}$，代入已知条件 $\overrightarrow{MF_2} \cdot \overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{MN}^2$ 得：
$\overrightarrow{MF_2} \cdot (\overrightarrow{MF_2} + \overrightarrow{F_2N}) = |\overrightarrow{MF_2}|^2 + 0 = |\overrightarrow{MF_2}|^2$
故 $|\overrightarrow{MF_2}|^2 = \dfrac{1}{2}|\overrightarrow{MN}|^2 \implies |\overrightarrow{MF_2}| = \dfrac{\sqrt{2}}{2}|\overrightarrow{MN}|$。
在 Rt$\triangle MF_2N$ 中，$|\overrightarrow{NF_2}| = \sqrt{|\overrightarrow{MN}|^2 - |\overrightarrow{MF_2}|^2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}|\overrightarrow{MN}|$。
因此 $\triangle MF_2N$ 是等腰直角三角形，且 $\angle F_2MN = 45^\circ$。

2. 结合双曲线定义求线段 $MN$ 的长及各焦点半径

因为左焦点 $F_1(-c, 0)$ 满足 $-c < -a$，直线 $l$ 过 $F_1$ 交双曲线左、右两支于 $M, N$ 两点，所以点 $M$ 位于 $F_1$ 与 $N$ 之间（即 $x_{F_1} < x_M < x_N$），三点排列顺序为 $F_1 - M - N$。
故 $MN = F_1N - F_1M$。
由双曲线定义：
点 $N$ 在右支上，则 $F_1N - F_2N = 2a \implies F_1N = F_2N + 2a$；
点 $M$ 在左支上，则 $F_2M - F_1M = 2a \implies F_1M = F_2M - 2a$。
代入得：
$MN = (F_2N + 2a) - (F_2M - 2a) = F_2N - F_2M + 4a$
由第 1 步知 $F_2N = F_2M$，所以 $MN = 4a$。
从而 $MF_2 = NF_2 = \dfrac{\sqrt{2}}{2} MN = 2\sqrt{2}a$，且 $F_1M = MF_2 - 2a = 2(\sqrt{2}-1)a$。

3. 在 $\triangle F_1 M F_2$ 中应用余弦定理求 $c$ 与 $a$ 的关系

在 $\triangle F_1 M F_2$ 中，由于 $F_1, M, N$ 共线，有 $\angle F_1 M F_2 = 180^\circ - \angle N M F_2 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$。
由余弦定理得：
$F_1F_2^2 = F_1M^2 + MF_2^2 - 2 F_1M \cdot MF_2 \cos 135^\circ$
将 $F_1M = 2(\sqrt{2}-1)a$ 和 $MF_2 = 2\sqrt{2}a$ 代入：
$F_1M^2 = 4(\sqrt{2}-1)^2 a^2 = (12 - 8\sqrt{2})a^2$
$MF_2^2 = 8a^2$
$-2 F_1M \cdot MF_2 \cos 135^\circ = -2 \cdot 2(\sqrt{2}-1)a \cdot 2\sqrt{2}a \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = (8\sqrt{2} - 8)a^2$
相加得：
$(2c)^2 = (12 - 8\sqrt{2} + 8 + 8\sqrt{2} - 8)a^2 = 12a^2$
解得 $c = \sqrt{3}a$。

4. 利用正弦定理求直线 $l$ 的斜率

设直线 $l$ 的倾斜角为 $\theta = \angle M F_1 F_2$。
在 $\triangle F_1 M F_2$ 中，由正弦定理得：
$\dfrac{MF_2}{\sin \theta} = \dfrac{F_1F_2}{\sin 135^\circ}$
代入已知量：
$\dfrac{2\sqrt{2}a}{\sin \theta} = \dfrac{2\sqrt{3}a}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{6}a \implies \sin \theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
因为 $\theta \in (0, \pi)$，所以 $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$。
故直线 $l$ 的斜率大小为：
$|k| = \tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} = \dfrac{\sqrt{3}/3}{\sqrt{6}/3} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
对照选项，直线 $l$ 的斜率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，故选 B。