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圆的角性质

圆的角性质：

  • 半圆上的圆周角是直角
  • 圆的切线垂直于过切点的半径
  • 圆心角是同弧所对圆周角的两倍
  • 同弧或等弧所对的圆周角相等
  • 圆内接四边形的对角互补

这个知识点的练习题

  1. 1圆心为 O 的圆在 D 处有一条切线 XY。∠ODC = 70°，∠BCD = 120°，且 ∠ODA = 15°。 求 ∠CDY。 求 ∠DAB。 求 ∠OBA。 该图显示了一个圆心为 O 的圆的扇形 OABC 和一个等腰三角形 OCD。…
  2. 2如图所示，BABA 和 BCBC 是以 OO 为圆心的圆的切线。BOBO 与圆相交于点 DD，OA=10OA = 10 cm 且 BC=28BC = 28 cm。 求 BDBD 的长。 答案 ___ cm 求阴影区域 ABCDABCD 的面积。 答案…
  3. 3如图所示，圆 PQRSTPQRST 的圆心为 OO。 PVPV 和 RVRV 是圆的切线，且 UU 是 PSPS 和 TRTR 的交点。 角 PVR = 40° 且角 STU = 43°。 求角 PQR。 给出每一步计算的理由。 求角 TUP…
  4. 4A、B、C 是以 O 为圆心的圆上的点。 Q 和 R 是以 P 为圆心的圆上的点。 CSR 和 BSQ 是两个圆的切线。 AOB 是一条直线。 证明三角形 CQS 全等于三角形 BRS。 为你作出的每个陈述给出理由。 角 ABC = y°…
  5. 5下列关于圆的叙述正确的有（ ） ①圆内接四边形的对角互补； ②相等的圆周角所对的弧相等； ③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等； ④圆内接平行四边形是矩形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
  6. 6⊙O的弦AB的长等于半径，那么弦AB所对的圆周角等于 度．
  7. 7在图中，AB 是圆心为 O 的圆的切线，∠CAB = 58°，且 CDE 是一条直线。 求以下角的值，并清晰写出你的理由， ∠BDE， 答案 ...° 钝角 ∠BOE， 答案 ...° ∠EBO， 答案 ...° ∠ABE。 答案 ...°…
  8. 8下图显示了一个以 BC = 34 cm 为直径的半圆 BAC。AD 和 BCD 是两条直线。 已知 cos⁡∠ABC=817\cos\angle ABC = \dfrac{8}{17}，在不求出角 ABC 和角 ACD 的值的情况下，求 cos⁡∠ACD\cos\angle ACD…
  9. 9在图中，P、Q、R 和 S 是圆上的点。PR 和 QS 相交于 T。 证明三角形 PTS 和三角形 QTR 相似，并为你给出的每个陈述说明理由。 答案 证明 QT × ST = PT × RT。 答案
  10. 10点 A、B、E 和 D 位于以 O 为圆心的圆上。 BEC 是一条直线，BF 是圆在点 B 处的切线。 已知 AC 平行于 BF，角 ABC = 90° 且角 ACB = 34°。 清晰说明理由，计算： 角 OBE， 答：...° 角 DE…
  11. 11同弧所对的圆周角等于圆心角的 ．
  12. 12P、Q、R、S 是圆心为 O 的圆周上的点。 角 OQR = 50°，角 PSR = 73°，钝角 SOQ = 156°。 求角 QRS。 给出你解答中每一步的理由。 答案 ...° 求角 PSO。 给出你解答中每一步的理由。 答案 ...…
  13. 13在图中，A、B、C、D 是以 O 为圆心的圆上的四个点。角 ABO=x∘ABO = x^\circ，角 ADO=y∘ADO = y^\circ。 用 xx 和 yy 表示角 BCDBCD。 给出每一步推导的理由。
  14. 14A、B 和 C 是圆心为 O 的圆上的点。 DE 是圆在点 A 处的切线。 角 AOC = 4x∘4x^\circ，角 ACB = x∘x^\circ。 用 x 表示以下各角。 给出你解答中每一步的理由。 (a) 角 ABC。 答案 ...…
  15. 15B、C、D、E 和 F 是以 O 为圆心的圆上的点。 AE 是圆的切线，ABC 是一条直线。 ∠BAE=38∘\angle BAE = 38^\circ、∠BOE=72∘\angle BOE = 72^\circ 且 ∠DCE=40∘\angle DCE = 40^\circ…
  16. 16O 是穿过 B、E、D 和 C 的圆的圆心。角 DOC=84∘DOC = 84^\circ 且角 CBO=54∘CBO = 54^\circ。PQPQ 是在点 D 处与圆相切的切线。 求以下各角的值，并给出每一步的理由： 角 BAE， 角 QDC； 角 ECB…
  17. 17在△ABC\triangle ABC中，点OO是不与AA、BB、CC重合的点，且满足OA=OB=OCOA=OB=OC，若∠BOC=140°∠BOC=140°，则∠BAC=∠BAC= ___ .
  18. 18PR 是大圆的直径，圆心为 O。 QS 是小圆的直径，圆心为 O。 PQ 和 RS 是小圆的切线。 证明三角形 OPQ 全等于三角形 ORS。 为你做出的每个陈述给出理由。 答 OQ 与 PQ 与 OP 的比为 5 : 12 : 13。 将…
  19. 19AC 是以 O 为圆心的圆的直径。AC=2rAC = \sqrt{2}r 且 AB=BCAB = BC。 COB 是一个以 P 为圆心的半圆弧。 圆的未阴影部分占百分之几？
  20. 20如下图所示，一个标志包含一个以 O 为圆心、半径为 2 cm 的圆，一个边长为 5 cm 的等边三角形 ABC，以及一个满足 OD = OF 的等腰三角形 DEF。DEF 在点 E 处与圆相切，且角 DOF = 2.4 弧度。 圆的一半位于…
  21. 21A、B、C、D、E 是圆心为 O 的圆上的点。 QP 和 QR 分别是圆在 B 和 E 处的切线。 AC 与 BD 相交于 O，且 QAOC 是一条直线。 角 BOA = 50°。求以下各角，并给出每一步的理由： 角 CED， 角 BQE。…
  22. 22如图所示，OAB 是一个以 O 为圆心的扇形。已知 OA = 12 cm，∠AOB = θ\theta 弧度，OC = 8 cm 且弧 AB 的长度为 15 cm。 (i) 计算 θ\theta 的值。 答：___ (ii) 求阴影部分…
  23. 23如图，BDK 是一条直线，且 AB = AD。角 ABD = 36°，角 CBD = 49°，角 CDK = 121°。 解释为什么可以画一个圆通过点 A、B、C 和 D。为你的每一步推导给出理由。 答案 ...
  24. 24A、B 和 C 是圆心为 O 的圆上的点，且 AB = BC。P 是弦 AB 的中点，Q 是弦 BC 的中点。 证明三角形 OAP 与三角形 OCQ 全等。为你做出的每一步陈述给出理由。 答 ... 已知圆的半径为 6 cm 且钝角 ∠AOC=7π9\angle AOC = \frac{7\pi}{9}…
  25. 25如图所示，OAPB 是一个以 O 为圆心、半径为 9 cm 的扇形。 角 AOB = 1.4 弧度。 C 是该扇形内切圆的圆心。 OCP 是一条直线，且该圆与扇形相切于点 P、Q 和 R。 证明该内切圆的半径为 3.526 cm（保留三位小…
  26. 26在图中，A、B、C 和 D 位于以 O 为圆心的圆上。 PQ 和 PR 分别是圆在 A 和 D 处的切线。 已知 ∠AOC = 140°，∠DCO = 28° 且 OA 平行于 CB。 请清楚地说明理由，证明 CA 平分 ∠BCO。 请清楚…
  27. 27在图中，AC 是圆 ABCD 的一条直径。 延长 AB 和 DC 相交于点 E。 角 AED = 20° 且角 CAD = 46°。 求以下各角，并给出每个答案的理由： 角 ABC， 答案 ... ° 角 BCE， 答案 ... ° 角 B…
  28. 28图中显示了三个点 A(−16,0)A(-16, 0)、B(0,12)B(0, 12) 和 C(8,2)C(8, 2)。 以 CC 为圆心作一个圆，使得 ABAB 是该圆的切线。点 (p,q)(p, q) 到直线 ax+by+c=0ax + by + c = 0 的垂直距离公式为： 距离…
  29. 29在图中，ABAB 是圆的直径。AED 和 ABC 是直线。AE=12AE = 12 cm 且 EB=16EB = 16 cm。∠ADC\angle ADC 是直角。 证明三角形 AEB 和 ADC 相似。 已知三角形 AEB 的面积与三角形 ADC 的面积…
  30. 30轮挡是放置在轮子或圆形物体旁以防止其移动的阻木。 珍妮（Jenny）需要为一种新型轮挡的设计提出一个原型。珍妮绘制了该轮挡的模型，其横截面如下图所示。 证明 BC=28(7+r)BC = \sqrt{28(7 + r)}。 已知 BC = 20 cm，求阴…
  31. 31如图所示，一个以 O 为圆心的圆经过 A、B、C、D 和 E。CG 和 FG 分别是该圆在点 C 和 A 处的切线。角 OAB = 56°，角 BDE = 78° 且角 OGC = 19°。求下列各角的值，并写出每一步的理由： 角 EAF，…
  32. 32下图所示为一个以 O 为圆心的圆。点 A、B 和 C 在圆上。角 ABC = 100°。求角 OAC，并给出你每一步计算的理由。
  33. 33A，B，C 和 D 是以 O 为圆心、半径为 5 cm 的圆上的点。AE 是圆在 A 点处的切线，OE 是经过 C 的直线。角 OEA = 28° 且 CD = 5 cm。 求下列各角，并给出每一步计算的理由： 角 OAD。 答案 角 OA…
  34. 34在图中，点 A、B、C 和 D 在圆心为 O 的圆上。∠ADC = 118° 且 ∠BAO = 32°。 求下列角，并给出每个答案的理由， 角 ABC。 答 ... 角 BCO。 答 ...
  35. 35如图所示，ABTC 是一个圆内接四边形。QTP 是该圆的切线，且 ∠BAT=2∠CAT\angle BAT = 2\angle CAT。直线 AT 和 BC 相交于点 M。 证明 TP = TB。 TP2=BP×PC.TP^2 = BP \times PC.
  36. 36如图所示，圆 BDEFG 的圆心为 O，直径为 BE。直线 AC 切圆于点 B，且 ∠BOD=30∘\angle BOD = 30^\circ。角 EBF、角 FBG 与角 GBC 的比为 1 : 1 : 2。 写出关于弧 EF 和弧 FG 的一个事实…
  37. 37该图展示了两个以 O 为圆心的同心圆。 PQ 是大圆的直径，RS 是小圆的直径。 PS 和 RQ 是小圆的切线。 证明三角形 PSO 全等于三角形 QRO。请为你做出的每个陈述给出理由。 大圆的半径为 8 cm，小圆的半径为 4.36 cm…
  38. 38如图所示，O 是圆心。DOEFG 和 AEB 是直线，GA 是圆在点 A 处的切线。角 AGD = 32° 且 角 BCD = 106°。 角 GOA ， 答案 ...° 角 BCF ， 答案 ...° 角 BDA ， 答案 ...° 角…
  39. 39如图所示，O 是经过 A, B, C, D 的圆的圆心，且 TB 是在 B 点处的切线。AC 是圆的直径，劣弧 BAD 的长度为 11 cm。 已知 ∠OBC = 40°，∠ACD = 30° 且 ∠BTC = 70°。 求解下列各值，并在…
  40. 40A、B、C、D 是圆上的点。 直线 PCQ 是圆的切线。 直线 QE 平分角 AEC 且平行于直线 CD。 证明 EC = ED。 为你做出的每个陈述给出理由。 证明三角形 AEF 相似于三角形 QCF。 为你做出的每个陈述给出理由。 直径…
  41. 41若⊙O的一条弧所对的圆周角为60°，则这条弧所对的圆心角是 ．
  42. 42该图（未按比例绘制）显示了两个以 O 为圆心的同心圆。AB 和 AD 分别是较小圆在 B 和 D 处的切线。AC 是较大圆的直径。 证明三角形 ABC 与三角形 ADC 全等。为你所作的每个陈述给出理由。 较大圆的半径为 8 cm 且 ∠BAO=42.5∘\angle BAO = 42.5^\circ…
  43. 43图中展示了一个圆，圆上有 A、B、D、E 四个点，圆外有一个点 C。 A、B、D、E 是圆上的点，使得 AD = CD 且角 BCD = 28°。 给出几何理由，解释为什么 BC 的长度等于 BE。
  44. 44A、B、D 和 E 是圆上的点，使得 AD = CD 且角 BCD = 28°。结合几何理由，说明为什么 BC 的长度等于 BE 的长度。
  45. 45在图中，ABC 和 AED 是直线，且 BE 平行于 CD。 证明三角形 ABE 相似于三角形 ACD。为你做出的每一步陈述给出理由。 证明 BCED=ABAE\displaystyle\frac{BC}{ED}=\frac{AB}{AE}。 画一个圆，…
  46. 46如图所示，AT 和 CT 分别是圆在 A 和 C 处的切线。AB 的延长线与 TC 相交于点 P。已知 ∠APC = 60°，∠ATC = 40° 且 CD = BC，计算以下角并写出所有理由。 ∠ACT。 ∠CAD。 ∠CBA。 ∠ADC…
  47. 47三角形 ABC 满足 AB = 16 cm，BC = 63 cm，AC = 65 cm。 点 A、B 和 C 是否位于同一个圆的圆周上？请写出过程并解释。 答 ... ...
  48. 48P、R 和 Q 是以 O 为圆心的圆上的点。PT 和 QT 分别是圆在 P 和 Q 处的切线。∠PTQ = 60° 且 ∠OQR = 20°。 写明解题理由，求： 求 ∠TQP。 求 ∠PRQ。 求 ∠OPR。 如果圆的半径是 5 cm，求…
  49. 49设双曲线CC：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left(a>0,b>0\right)的左、右焦点分别为F1{{F}_{1}}，F2{{F}_{2}}…
  50. 50在图中，圆 ABCF 和圆 CDEF 相交于 C 和 F。AFD 和 BFE 是直线，且 BC 平行于 AD。角 ACB = 30∘30^\circ，角 BAF = 100∘100^\circ，角 FED = 120∘120^\circ。 求以下角的…
  51. 51图中展示了一个由两个三角形组成的四边形 ABCDABCD。 AB=20 cm, AD=12 cm, CD=32 cmAB = 20\ \text{cm},\ AD = 12\ \text{cm},\ CD = 32\ \text{cm}。 角 CBD=90∘CBD = 90^\circ 且角 BCD=30∘BCD = 30^\circ…
  52. 52在图中（未按比例绘制），A、B、C、D 和 E 是圆上的点。 CPE 和 BPD 是直线。 已知 DC = DE，角 EPB = 104° 且角 BAE = 121°。 求角 BDE。 答案 ... ° 由此证明角 DEC = 45°。 证…
  53. 53在图中，A、B、C 和 D 是以 O 为圆心的圆周上的点。AB 平行于 DO 且 ∠AOD=67∘\angle AOD = 67^\circ。AOC 是该圆的直径。 求角 BCD。 写出每一步计算的理由。 解释为什么角 DAB 是 123.5∘123.5^\circ…
  54. 54在图中，O 是圆心，ABCD 是圆内接四边形。 角 AOB=∠ADC=70∘AOB = \angle ADC = 70^\circ。 解释为什么三角形 ABCABC 是等腰三角形。 写出每一步的推导过程和理由。
  55. 55图中 ABC 是一条直线，BC=10 cmBC = 10\ \text{cm}，CD=8 cmCD = 8\ \text{cm} 且 BD=6 cmBD = 6\ \text{cm}。 解释为什么在上面的图中可以画一个通过 B、C 和 D 的圆。 写出你计算或证明的每一步…
  56. 56直线 ABC 和 CDE 分别是圆在点 B 和 D 处的切线。F、G 和 H 是圆上的点，圆心为 O。直线 BD 和 HF 相交于点 J。已知 ∠ACE = 62° 且 ∠DHF = 40°。 求以下各角的值，并给出每个答案的理由： ∠FG…
  57. 57如图所示，P、Q、R、S、T 是圆心为 O 的圆上的点。 VX 是圆在 P 点处的切线。 直线 SR 平行于圆的直径 TQ。 W 位于 TQ 和 PR 上。 已知 ∠OPR = 45° 且 ∠PRQ = 30°。 求角 TOP。 给出每一步…
  58. 58如图所示，A、B、C和D是圆心为O的圆上的点。AG和BG是该圆的切线。GAE、FAD和GBH是直线。角 APD = 71°，角 AGB = 54°。 解释为什么可以画一个穿过点A、O、B和G的圆。说明该圆的圆心。 清晰地写出你的理由，求：…