如图所示，ABTC 是一个圆内接四边形。QTP 是该圆的切线，且 $\angle BAT = 2\angle CAT$。直线 AT 和 BC 相交于点 M。 证明

1. 设未知角并利用圆周角定理表示相关角

设 $\angle CAT = x$。由题意 $\angle BAT = 2\angle CAT = 2x$。
在圆内接四边形 $ABTC$ 中，根据同弧所对的圆周角相等：
由弧 $CT$ 可得 $\angle CBT = \angle CAT = x$；
由弧 $BT$ 可得 $\angle BCT = \angle BAT = 2x$。

2. 利用弦切角定理与三角形外角定理求出 $\angle TPC$

设切线 $QTP$ 与直线 $BC$ 的延长线交于点 $P$。
由弦切角定理（交错弧段定理），切线 $PT$ 与弦 $TC$ 所夹的角等于弦 $TC$ 所对的圆周角，即：
$\angle PTC = \angle TAC = x$
在 $\triangle PTC$ 中，$\angle TCB$ 为顶点 $C$ 处的外角，根据外角定理：
$\angle TCB = \angle PTC + \angle TPC$
$2x = x + \angle TPC \implies \angle TPC = x$

3. 证明 $\triangle PTB$ 为等腰三角形，得出 $TP = TB$

在 $\triangle PTB$ 中：
$\angle TPB = \angle TPC = x$
$\angle TBP = \angle TBC = x$
由于 $\angle TPB = \angle TBP = x$，因此 $\triangle PTB$ 为等腰三角形。
故 $TP = TB$。

1. 证明 $\triangle PTC \sim \triangle PBT$

在 $\triangle PTC$ 与 $\triangle PBT$ 中：

1. $\angle TPC = \angle BPT$（公共角）；
2. $\angle PTC = x = \angle PBT$（由弦切角定理或前一问推导）。
   根据两角分别相等的两个三角形相似（AA判定）：
   $\triangle PTC \sim \triangle PBT$

2. 由相似三角形对应边成比例导出等式

由 $\triangle PTC \sim \triangle PBT$，对应边成比例：
$\dfrac{PT}{PB} = \dfrac{PC}{PT}$
交叉相乘得：
$TP^2 = BP \times PC$