已知向量a→=(1,0)\overrightarrow {a}=(1,0)，b→=(−1,3).\overrightarrow {b}=(-1,\sqrt{3}).若<c→< \overrightarrow {c}，a→>=<c→\overrightarrow {a}>=< \overrightarrow {c}，b→>\overrightarrow {b}>，则c→\overrightarrow {c}可能是()(\quad)
A. 2a→−b→2\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b}
B. a→+b→\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}
C. 2a→+b→2\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}
D. 3a→+b→\sqrt{3}\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}

向量基本定理及坐标表示向量运算
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完整解法

1. 将夹角相等条件转化为向量数量积与模的关系式

根据题意，若 ⟨c→,a→⟩=⟨c→,b→⟩\langle\overrightarrow{c}, \overrightarrow{a}\rangle = \langle\overrightarrow{c}, \overrightarrow{b}\rangle，则它们的夹角余弦值相等，且夹角在 [0,π][0, \pi] 范围内单调，故等价于：
cos⁡⟨c→,a→⟩=cos⁡⟨c→,b→⟩\cos\langle\overrightarrow{c}, \overrightarrow{a}\rangle = \cos\langle\overrightarrow{c}, \overrightarrow{b}\rangle
代入向量夹角公式得：
c→⋅a→∣c→∣∣a→∣=c→⋅b→∣c→∣∣b→∣\frac{\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|} = \frac{\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{b}|}
由于 c→\overrightarrow{c} 为非零向量，两边消去 ∣c→∣|\overrightarrow{c}| 可得：
c→⋅a→∣a→∣=c→⋅b→∣b→∣\frac{\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} = \frac{\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}

2. 计算已知向量的模并化简等式

已知 a→=(1,0)\overrightarrow{a}=(1,0)，b→=(−1,3)\overrightarrow{b}=(-1,\sqrt{3})，计算它们的模：
∣a→∣=12+02=1|\overrightarrow{a}| = \sqrt{1^2+0^2} = 1
∣b→∣=(−1)2+(3)2=2|\overrightarrow{b}| = \sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2} = 2
将 ∣a→∣=1|\overrightarrow{a}|=1 和 ∣b→∣=2|\overrightarrow{b}|=2 代入步骤1的等式中：
c→⋅a→1=c→⋅b→2  ⟹  2(c→⋅a→)=c→⋅b→\frac{\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}}{1} = \frac{\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{b}}{2} \implies 2(\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}) = \overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{b}
移项化简得：
c→⋅(2a→−b→)=0\overrightarrow{c}\cdot(2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = 0

3. 求出特征向量并代入选项进行筛选

先求出向量 2a→−b→2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} 的坐标：
2a→−b→=2(1,0)−(−1,3)=(3,−3)2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = 2(1,0) - (-1,\sqrt{3}) = (3, -\sqrt{3})
故 c→\overrightarrow{c} 与 (3,−3)(3, -\sqrt{3}) 垂直。依次检验各选项中 c→\overrightarrow{c} 的坐标与 (3,−3)(3, -\sqrt{3}) 的数量积：

  • 对于 A，c→=2a→−b→=(3,−3)\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} = (3, -\sqrt{3})，(3,−3)⋅(3,−3)=12≠0(3, -\sqrt{3})\cdot(3, -\sqrt{3}) = 12 \neq 0，不符；
  • 对于 B，c→=a→+b→=(0,3)\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = (0, \sqrt{3})，(0,3)⋅(3,−3)=−3≠0(0, \sqrt{3})\cdot(3, -\sqrt{3}) = -3 \neq 0，不符；
  • 对于 C，c→=2a→+b→=(1,3)\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = (1, \sqrt{3})，(1,3)⋅(3,−3)=3−3=0(1, \sqrt{3})\cdot(3, -\sqrt{3}) = 3 - 3 = 0，符合。此时 c→⋅a→=1>0\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}=1>0，c→⋅b→=2>0\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{b}=2>0，夹角余弦值均大于0，符合题意；
  • 对于 D，c→=3a→+b→=(3−1,3)\overrightarrow{c} = \sqrt{3}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = (\sqrt{3}-1, \sqrt{3})，其与 (3,−3)(3, -\sqrt{3}) 的数量积不为0，不符。

因此，c→\overrightarrow{c} 可能是 2a→+b→2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}。

答案

C

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