已知$0 < α < \dfrac{π}{2} < β < π$，$\overset{→}{a}=(\cos α,3) \overset{→}{b}=(-4,\sin α)$，且$\overset{→}{a}⊥ \overset{→}{b}$，$\cos (β-α)= \dfrac{ \sqrt{2}}{10}$． $(I)$求$\tan α$和$\sin α$的值； $(II)$求$\sin β$的值．

1. 利用向量垂直的坐标表示求出 $\tan \alpha$ 的值

因为 $\vec{a} \perp \vec{b}$ 且 $\vec{a}=(\cos\alpha, 3)$，$\vec{b}=(-4, \sin\alpha)$，
所以 $\vec{a} \cdot \vec{b} = -4\cos\alpha + 3\sin\alpha = 0$，
即 $3\sin\alpha = 4\cos\alpha$。
由于 $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$，得 $\cos\alpha \neq 0$，
所以 $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{4}{3}$。

2. 利用同角三角函数的基本关系求出 $\sin \alpha$ 的值

由 $\tan\alpha = \dfrac{4}{3}$，结合 $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$，
可联立方程组：
$\begin{cases} 3\sin\alpha = 4\cos\alpha \\ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \end{cases}$
解得 $\sin\alpha = \pm \dfrac{4}{5}$。
因为 $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$，所以 $\sin\alpha > 0$，
故 $\sin\alpha = \dfrac{4}{5}$。

1. 确定角 $\beta-\alpha$ 的范围，并求出 $\sin(\beta-\alpha)$ 的值

由第(I)问易得 $\cos\alpha = \dfrac{3}{5}$。
因为 $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2} < \beta < \pi$，
所以 $0 < \beta - \alpha < \pi$。
又已知 $\cos(\beta-\alpha) = \dfrac{\sqrt{2}}{10} > 0$，
所以 $\beta - \alpha$ 为第一象限角，即 $0 < \beta - \alpha < \dfrac{\pi}{2}$。
因此，\sin(\beta-\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(\beta-\alpha)} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{\sqrt{2}}{10} ight)^2} = \dfrac{7\sqrt{2}}{10}。

2. 利用两角和的正弦公式求出 $\sin \beta$ 的值

因为 $\beta = (\beta-\alpha) + \alpha$，
所以 $\sin\beta = \sin[(\beta-\alpha) + \alpha] = \sin(\beta-\alpha)\cos\alpha + \cos(\beta-\alpha)\sin\alpha$。
将已知和已求数据代入得：
$\sin\beta = \dfrac{7\sqrt{2}}{10} \times \dfrac{3}{5} + \dfrac{\sqrt{2}}{10} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{21\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{50} = \dfrac{25\sqrt{2}}{50} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。