过抛物线$x^{2}=6y$的焦点$F$作直线交抛物线于$A$，$B$两点，$M$为线段$AB$的中点，则$(\quad)$

A. 以线段$AB$为直径的圆与直线$y=-\dfrac{3}{2}$相切

B. 以线段$BM$为直径的圆与$y$轴相切

C. 当$\overrightarrow {AF}=2\overrightarrow {FB}$时，$|\overrightarrow {AB}|=\dfrac{37}{4}$

D. $|AB|$的最小值为$6$

1. 确定抛物线的焦点坐标与准线方程

由抛物线方程 $x^2 = 6y$，可知 $2p = 6$，即 $p = 3$。
因此，焦点 $F$ 的坐标为 $\left(0, \dfrac{3}{2}\right)$，准线方程为 $y = -\dfrac{3}{2}$。

2. 分析选项A：判断以AB为直径的圆与准线的位置关系

设 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，则线段 $AB$ 的中点 $M$ 的纵坐标为 $y_M = \dfrac{y_1 + y_2}{2}$。
由抛物线定义，焦点弦长 $|AB| = |AF| + |BF| = \left(y_1 + \dfrac{3}{2}\right) + \left(y_2 + \dfrac{3}{2}\right) = y_1 + y_2 + 3$。
以 $AB$ 为直径的圆的半径为 $R = \dfrac{|AB|}{2} = \dfrac{y_1 + y_2 + 3}{2}$。
圆心 $M$ 到准线 $y = -\dfrac{3}{2}$ 的距离为 $d = y_M - \left(-\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{y_1 + y_2}{2} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{y_1 + y_2 + 3}{2} = R$。
因为圆心到准线的距离等于半径，所以以 $AB$ 为直径的圆与直线 $y = -\dfrac{3}{2}$ 相切，A正确。

3. 分析选项B：判断以BM为直径的圆是否恒与y轴相切

取特例：当直线 $AB$ 的斜率为 $1$ 时，过焦点 $F\left(0, \dfrac{3}{2}\right)$ 的直线方程为 $y = x + \dfrac{3}{2}$。
联立抛物线方程 $x^2 = 6y$，得 $x^2 - 6x - 9 = 0$。
解得 $x = 3 \pm 3\sqrt{2}$，此时 $B(3 + 3\sqrt{2}, 4.5 + 3\sqrt{2})$，$M(3, 4.5)$。
线段 $BM$ 的中点到 $y$ 轴的距离为 $3 + 1.5\sqrt{2}$，而线段 $BM$ 的长度的一半为 $3$。
距离不等于半径，故以 $BM$ 为直径的圆不一定与 $y$ 轴相切，B错误。

4. 分析选项C：求出满足向量比例条件的弦长|AB|

当 $\overrightarrow{AF} = 2\overrightarrow{FB}$ 时，根据向量共线及坐标关系，有 $x_A = -2x_B$，即 $y_A = 4y_B$。
又 $y_F - y_A = 2(y_B - y_F) \implies y_A + 2y_B = 3y_F = \dfrac{9}{2}$。
代入 $y_A = 4y_B$ 得 $6y_B = \dfrac{9}{2} \implies y_B = \dfrac{3}{4}$，则 $y_A = 3$。
因此 $|\overrightarrow{AB}| = y_A + y_B + p = 3 + \dfrac{3}{4} + 3 = \dfrac{27}{4} \neq \dfrac{37}{4}$，C错误。

5. 分析选项D：求焦点弦|AB|的最小值

设直线 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$（$\theta \neq 0$），则焦点弦长为 $|AB| = \dfrac{2p}{\sin^2\theta} = \dfrac{6}{\sin^2\theta}$。
当 $\sin\theta = 1$，即直线 $AB$ 垂直于 $y$ 轴时，弦长 $|AB|$ 取得最小值 $6$，D正确。

综上所述，正确的选项为 A、D。