一个正三棱锥的底面边长为$6$，侧棱长为$\sqrt {15}$，那么这个正三棱锥的体积是 ___ ．

1. 计算底面正三角形的面积和高

底面为边长为 $6$ 的等边三角形，其面积为：
$S_{\text{底}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = 9\sqrt{3}$
底面三角形的高为：
$h_{\text{底}} = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

2. 计算底面中心到底面顶点的距离

正三棱锥的顶点在底面的投影为底面等边三角形的中心（重心）。
底面中心到三角形任意顶点的距离 $r$ 为底面高的 $\frac{2}{3}$：
$r = \frac{2}{3} \times 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

3. 利用勾股定理求出正三棱锥的高

设正三棱锥的高为 $h$，侧棱长为 $\sqrt{15}$。
在由高、侧棱以及底面顶点到中心距离构成的直角三角形中，由勾股定理可得：
$h = \sqrt{(\sqrt{15})^2 - r^2} = \sqrt{15 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{15 - 12} = \sqrt{3}$

4. 计算正三棱锥的体积

由棱锥的体积公式，该正三棱锥的体积为：
$V = \frac{1}{3} S_{\text{底}} h = \frac{1}{3} \times 9\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 9$