《九章算术$\boldsymbol{⋅}$商功》：“斜解立方，得两塹堵，斜解塹堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马$P-ABCD$中，侧棱$PA⊥$底面$ABCD$，且$PA=1$，$AB=AD=2$，则点$A$到平面$PBD$的距离为$(\quad)$

A. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$

B. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$

C. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

D. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

1. 计算三棱锥 $P-ABD$ 的体积

由题意可知，阳马 $P-ABCD$ 中，侧棱 $PA \perp$ 底面 $ABCD$，且 $PA=1$，$AB=AD=2$。
因为底面 $ABCD$ 为长方形且相邻两边 $AB=AD=2$，故底面为正方形，所以 $\triangle ABD$ 是直角三角形，其面积为：
$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \times AB \times AD = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2.$
因此，三棱锥 $P-ABD$ 的体积为：
$V_{P-ABD} = \frac{1}{3} \times S_{\triangle ABD} \times PA = \frac{1}{3} \times 2 \times 1 = \frac{2}{3}.$

2. 计算 $\triangle PBD$ 的各边长及面积

在直角 $\triangle ABD$ 中，由勾股定理得：
$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}.$
因为 $PA \perp$ 底面 $ABCD$，所以 $PA \perp AB$，$PA \perp AD$。
在直角 $\triangle PAB$ 和直角 $\triangle PAD$ 中，由勾股定理得：
$PB = \sqrt{PA^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5},$
$PD = \sqrt{PA^2 + AD^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}.$
因此，$\triangle PBD$ 是以 $PB=PD=\sqrt{5}$，$BD=2\sqrt{2}$ 为边的等腰三角形。
设 $BD$ 的中点为 $M$，连接 $PM$，则 $PM \perp BD$。
在直角 $\triangle PMB$ 中，$BM = \frac{1}{2}BD = \sqrt{2}$，由勾股定理得：
$PM = \sqrt{PB^2 - BM^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}.$
所以 $\triangle PBD$ 的面积为：
$S_{\triangle PBD} = \frac{1}{2} \times BD \times PM = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}.$

3. 利用等体积法求出点 $A$ 到平面 $PBD$ 的距离

设点 $A$ 到平面 $PBD$ 的距离为 $h$。
利用三棱锥的体积不随顶点和底面的转换而改变（等体积法），可得：
$V_{A-PBD} = V_{P-ABD}$
即：
$\frac{1}{3} \times S_{\triangle PBD} \times h = \frac{2}{3}$
代入 $S_{\triangle PBD} = \sqrt{6}$，得：
$\frac{1}{3} \times \sqrt{6} \times h = \frac{2}{3} \implies h = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}.$
因此，点 $A$ 到平面 $PBD$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$。
选项B符合题意。