已知圆$\mathbf{C}_{\mathbf{1}}$：$\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{\text{+}}\mathbf{y}^{\mathbf{2}}\mathbf{\text{-}6}\mathbf{x\text{-}6\text{=}0}$，圆$\mathbf{C}_{\mathbf{2}}$：$\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{\text{+}}\mathbf{y}^{\mathbf{2}}\mathbf{\text{-}4}\mathbf{y\text{-}6\text{=}0}.(1)$试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在直线的方程； (3)求公共弦的长度．

1. 将两圆的方程化为标准方程以求出圆心和半径

将圆 $C_1$ 的方程 $x^2 + y^2 - 6x - 6 = 0$ 进行配方，得：
$(x-3)^2 + y^2 = 15$
故圆 $C_1$ 的圆心为 $O_1(3, 0)$，半径 $r_1 = \sqrt{15}$。

将圆 $C_2$ 的方程 $x^2 + y^2 - 4y - 6 = 0$ 进行配方，得：
$x^2 + (y-2)^2 = 10$
故圆 $C_2$ 的圆心为 $O_2(0, 2)$，半径 $r_2 = \sqrt{10}$。

2. 求两圆的圆心距

利用两点间距离公式，求圆心 $O_1(3, 0)$ 与 $O_2(0, 2)$ 之间的距离 $d$：
$d = |O_1 O_2| = \sqrt{(3-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{13}$

3. 通过比较圆心距与两圆半径之和及差的大小来判断位置关系

因为 $r_1 = \sqrt{15} \approx 3.87$，$r_2 = \sqrt{10} \approx 3.16$，圆心距 $d = \sqrt{13} \approx 3.61$。
显然有：
$\sqrt{15} - \sqrt{10} < \sqrt{13} < \sqrt{15} + \sqrt{10}$
即 $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$。
所以两圆的位置关系为相交。

1. 利用两圆方程相减求出公共弦所在直线的方程

将圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的一般方程联立并相减：
$(x^2 + y^2 - 6x - 6) - (x^2 + y^2 - 4y - 6) = 0$
化简可得：
$-6x + 4y = 0$
即：
$3x - 2y = 0$
所以公共弦所在直线的方程为 $3x - 2y = 0$。

1. 求其中一个圆的圆心到公共弦所在直线的距离

选择圆 $C_1$ 的圆心 $O_1(3, 0)$，求其到公共弦所在直线 $3x - 2y = 0$ 的距离 $d$：
$d = \frac{|3 \times 3 - 2 \times 0|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}} = \frac{9}{\sqrt{13}}$

2. 利用勾股定理和垂径定理求出公共弦的长度

在直角三角形中，由垂径定理和勾股定理可知，半弦长为：
$\sqrt{r_1^2 - d^2} = \sqrt{15 - \left(\frac{9}{\sqrt{13}}\right)^2} = \sqrt{15 - \frac{81}{13}} = \sqrt{\frac{114}{13}}$
因此，公共弦长 $l$ 为：
$l = 2\sqrt{\frac{114}{13}} = 2\frac{\sqrt{1482}}{13} = \frac{2\sqrt{1482}}{13}$