下列四组数中，是勾股数的是$(\quad)$

A. $2.5$、$6$、$6.5$

B. $32$、$42$、$52$

C. $1$、$2$、$\sqrt{5}$

D. $5$、$12$、$13$

1. 理解勾股数的定义

根据勾股数的定义：满足 $a^2 + b^2 = c^2$ 的三个正整数，称为勾股数。因此，勾股数必须首先是正整数。

2. 分析选项A、C是否符合正整数的要求

对于A：$2.5$ 和 $6.5$ 不是整数，因此不是勾股数；
对于C：$\sqrt{5}$ 不是整数，因此不是勾股数。

3. 计算并验证选项B、D是否满足勾股定理的等式

对于B：$32^2 + 42^2 = 1024 + 1764 = 2788$，而 $52^2 = 2704$，因为 $32^2 + 42^2 \neq 52^2$，所以不是勾股数；
对于D：$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，且 $5$、12、13 都是正整数，因此是勾股数。

4. 得出最终结论

综上所述，只有 D 选项中的数是勾股数。故选：D。