圆$C$的半径为$5$，圆心在$x$轴的负半轴上，且被直线$3x+4y+4=0$截得的弦长为$6$，则圆$C$的方程为$\left(\;\;\;\right)$

A. $x^{2}+y^{2}-2x-3=0$

B. $x^{2}+16x+y^{2}+39=0$

C. $x^{2}-16x+y^{2}-39=0$

D. $x^{2}+y^{2}-4x=0$

1. 求圆心到直线的距离

根据垂径定理，弦心距 $d$、圆的半径 $R$ 和半弦长 $\frac{L}{2}$ 构成直角三角形。
已知圆的半径 $R = 5$，直线截得的弦长 $L = 6$，因此半弦长为 $\frac{L}{2} = 3$。
由勾股定理可得，圆心到直线的距离为：
$d = \sqrt{R^2 - \left(\frac{L}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$

2. 设出圆心坐标并利用点到直线距离公式求解圆心坐标

设圆心为 $C(a, 0)$。因为圆心在 $x$ 轴的负半轴上，所以 $a < 0$。
圆心 $C(a, 0)$ 到直线 $3x + 4y + 4 = 0$ 的距离为：
$d = \frac{|3a + 4 \times 0 + 4|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3a + 4|}{5}$
结合第1步中求得的 $d = 4$，可得：
$\frac{|3a + 4|}{5} = 4 \implies |3a + 4| = 20$
解得 $3a + 4 = 20$ 或 $3a + 4 = -20$：

• 若 $3a + 4 = 20$，解得 $a = \frac{16}{3}$（因为 $a < 0$，故不合题意，舍去）；
• 若 $3a + 4 = -20$，解得 $a = -8$（满足 $a < 0$）。
  因此圆心坐标为 $C(-8, 0)$。

3. 写出圆的标准方程并转化为一般方程

圆心为 $C(-8, 0)$，半径为 $5$，其标准方程为：
$(x + 8)^2 + y^2 = 25$
展开整理得：
$x^2 + 16x + 64 + y^2 = 25 \implies x^2 + 16x + y^2 + 39 = 0$
因此，对应选项为 B。