勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：$3$，$4$，$5$；$5$，$12$，$13$；$7$，$24$，$25$；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为$1.$柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为$2$的一类勾股数，如：$6$，$8$，$10$；$8$，$15$，$17$；…，若此类勾股数的勾为$2m(m\geqslant 3,m$为正整数$)$，则其弦是 ___$($结果用含$m$的式子表示$).$

1. 设出未知数并用含 $a$ 的式子表示弦和股

由题意可知，此类勾股数的勾为 $2m$，且弦与股相差为 $2$．
设其股为 $a$（其中 $a > 0$），则其弦为 $a+2$．

2. 利用勾股定理列出方程

根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
因此可列方程：
$(2m)^2 + a^2 = (a+2)^2$

3. 展开方程并求解弦的表达式

利用完全平方公式展开方程右边，得：
$4m^2 + a^2 = a^2 + 4a + 4$
消去 $a^2$，得：
$4m^2 = 4a + 4$
两边同除以 $4$，得：
$m^2 = a + 1 \implies a = m^2 - 1$
因此，其弦为：
$a + 2 = (m^2 - 1) + 2 = m^2 + 1$