已知抛物线$y=ax^{2}$经过点$A(2,1).(1)$求此抛物线的表达式$;(2)$写出抛物线上点$A$关于$y$轴的对称点$B$的坐标$;(3)$求$\triangle OAB$的面积$;(4)$抛物线上是否存在点$C$，使$\triangle ABC$的面积等于$\triangle OAB$面积的一半$?$若存在，求出点$C$的坐标$;$若不存在，请说明理由.

1. 将点A的坐标代入抛物线解析式以求出待定系数

把点 $A(2,1)$ 的坐标代入抛物线解析式 $y=ax^2$ 中，得：
$1 = a \times 2^2$
解得：
$a = \dfrac{1}{4}$
因此，抛物线的表达式为：
$y = \dfrac{1}{4}x^2$

1. 利用平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标规律，写出对称点B的坐标

已知点 $A$ 的坐标为 $(2,1)$。
根据在直角坐标系中，关于 $y$ 轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，
可得点 $A(2,1)$ 关于 $y$ 轴的对称点 $B$ 的坐标为：
$(-2,1)$

1. 求出线段AB的长度以及点O到线段AB的距离

由点 $A(2,1)$，点 $B(-2,1)$ 的坐标可知，线段 $AB$ 平行于 $x$ 轴。
则线段 $AB$ 的长度为：
$AB = 2 - (-2) = 4$
点 $O(0,0)$ 到直线 $AB$ 的距离（即 $\triangle OAB$ 以 $AB$ 为底时的对应高）等于点 $A$ 或 $B$ 的纵坐标的绝对值，即：
$h = |1| = 1$

2. 计算三角形OAB的面积

根据三角形的面积计算公式，得到：
$S_{\triangle OAB} = \dfrac{1}{2} \times AB \times h = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 1 = 2$

1. 根据面积比值关系建立方程，确定点C到直线AB的距离

设点 $C$ 到直线 $AB$ 的距离为 $d$。
根据已知条件，$\triangle ABC$ 的面积等于 $\triangle OAB$ 面积的一半，即：
$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} S_{\triangle OAB} = \dfrac{1}{2} \times 2 = 1$
同时，以 $AB$ 为底时，$\triangle ABC$ 的面积可表示为：
$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} \times AB \times d = \dfrac{1}{2} \times 4 \times d = 2d$
建立方程：
$2d = 1 \implies d = \dfrac{1}{2}$

2. 通过分类讨论确定点C的纵坐标可能取的值

因为直线 $AB$ 的方程为 $y=1$，而点 $C$ 到它的距离 $d = \dfrac{1}{2}$：
① 当点 $C$ 在直线 $AB$ 的下方时，点 $C$ 的纵坐标为：
$y_C = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$
② 当点 $C$ 在直线 $AB$ 的上方时，点 $C$ 的纵坐标为：
$y_C = 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$

3. 将可能达到的纵坐标分别代入抛物线解析式，求出对应点C的坐标

把 $y_C$ 代入抛物线解析式 $y = \dfrac{1}{4}x^2$ 中求 $x$：

• 当 $y_C = \dfrac{1}{2}$ 时：

此时，点 $C$ 的坐标为 $(\sqrt{2}, \dfrac{1}{2})$ 或 $(-\sqrt{2}, \dfrac{1}{2})$。

• 当 $y_C = \dfrac{3}{2}$ 时：
  $\dfrac{1}{4}x_C^2 = \dfrac{3}{2} \implies x_C^2 = 6 \implies x_C = \pm\sqrt{6}$
  此时，点 $C$ 的坐标为 $(\sqrt{6}, \dfrac{3}{2})$ 或 $(-\sqrt{6}, \dfrac{3}{2})$。

综上所述，存在符合条件的点 $C$，其坐标为：
$(\sqrt{2},\dfrac{1}{2})$，$(-\sqrt{2},\dfrac{1}{2})$，$(\sqrt{6},\dfrac{3}{2})$，$(-\sqrt{6},\dfrac{3}{2})$。