方程$\left|xy\right|+\left|x+y\right|=1$的整数解的组数为$(\quad)$

A. $2$

B. $4$

C. $6$

D. $8$

1. 将方程转化为关于非负整数的分类讨论

因为 $x, y$ 均为整数，所以 $|xy|$ 和 $|x+y|$ 都是非负整数。
已知 $|xy| + |x+y| = 1$，根据非负整数的性质，只有以下两种情况：
情况一：$\begin{cases} |xy| = 0 \\ |x+y| = 1 \end{cases}$
情况二：$\begin{cases} |xy| = 1 \\ |x+y| = 0 \end{cases}$

2. 求解情况一的整数解

在情况一中，由 $|xy| = 0$ 可得 $xy = 0$，即 $x = 0$ 或 $y = 0$。

1. 当 $x = 0$ 时，代入 $|x+y| = 1$ 得 $|y| = 1$，解得 $y = 1$ 或 $y = -1$。此时整数解为：$\begin{cases} x = 0 \\ y = 1 \end{cases}$ 和 $\begin{cases} x = 0 \\ y = -1 \end{cases}$；
2. 当 $y = 0$ 时，代入 $|x+y| = 1$ 得 $|x| = 1$，解得 $x = 1$ 或 $x = -1$。此时整数解为：$\begin{cases} x = 1 \\ y = 0 \end{cases}$ 和 $\begin{cases} x = -1 \\ y = 0 \end{cases}$。
   因此，情况一共有 4 组整数解。

3. 求解情况二的整数解

在情况二中，由 $|x+y| = 0$ 可得 $x+y = 0$，即 $y = -x$。
代入 $|xy| = 1$ 得 $|-x^2| = 1$，即 $x^2 = 1$。
解得 $x = 1$ 或 $x = -1$：

1. 当 $x = 1$ 时， $y = -1$，此时整数解为：$\begin{cases} x = 1 \\ y = -1 \end{cases}$；
2. 当 $x = -1$ 时， $y = 1$，此时整数解为：$\begin{cases} x = -1 \\ y = 1 \end{cases}$。
   因此，情况二共有 2 组整数解。

4. 汇总并得出结论

综上所述，方程的全部整数解为：
$\begin{cases} x = 0 \\ y = 1 \end{cases}$，$\begin{cases} x = 0 \\ y = -1 \end{cases}$，$\begin{cases} x = 1 \\ y = 0 \end{cases}$，$\begin{cases} x = -1 \\ y = 0 \end{cases}$，$\begin{cases} x = 1 \\ y = -1 \end{cases}$，$\begin{cases} x = -1 \\ y = 1 \end{cases}$。
共 6 组，故选 C。