不论$a$，$b$为何有理数，$a^{2}+b^{2}-2a-4b+c$的值总是非负数，则$c$的最小值是$(\quad)$

A. $4$

B. $5$

C. $6$

D. 无法确定

1. 利用配方法将原代数式变形

将原式中的 $a$ 相关项和 $b$ 相关项分别配方：
$\begin{aligned} a^{2}+b^{2}-2a-4b+c &= (a^{2}-2a+1) + (b^{2}-4b+4) + c - 1 - 4 \\ &= (a-1)^{2}+(b-2)^{2}+c-5 \end{aligned}$

2. 利用偶次幂的非负性确定代数式取得最小值的条件

因为对于任意有理数 $a, b$，都有 $(a-1)^{2} \geqslant 0$ 且 $(b-2)^{2} \geqslant 0$，
所以当 $a=1$ 且 $b=2$ 时，$(a-1)^{2}+(b-2)^{2}$ 取得最小值 $0$。

3. 结合“代数式的值总是非负数”这一条件，求出 $c$ 的最小值

要使 $(a-1)^{2}+(b-2)^{2}+c-5 \geqslant 0$ 恒成立，只需其最小值非负，即：
$0 + 0 + c - 5 \geqslant 0$
解得 $c \geqslant 5$。
因此，$c$ 的最小值是 $5$。

故选：B。