若$a< 0$，$b< 0$，则$p=\dfrac{{b}^{2}}{a}+\dfrac{{a}^{2}}{b}$ 与 $q=a+b$的大小关系为 $(\quad)$

A. $p< q$

B. $p\leqslant q$

C. $p>q$

D. $p\geqslant q$

1. 对 $p$ 与 $q$ 作差并通分

为了比较 $p$ 与 $q$ 的大小，我们使用作差法：

$$\begin{aligned} p - q &= \left(\frac{b^2}{a} + \frac{a^2}{b}\right) - (a+b) \\ &= \frac{a^3 + b^3}{ab} - (a+b) \\ &= \frac{a^3 + b^3 - ab(a+b)}{ab} \end{aligned}$$

2. 对分子进行因式分解

利用立方和公式将分子进行因式分解：

$$\begin{aligned} a^3 + b^3 - ab(a+b) &= (a+b)(a^2 - ab + b^2) - ab(a+b) \\ &= (a+b)(a^2 - ab + b^2 - ab) \\ &= (a+b)(a^2 - 2ab + b^2) \\ &= (a+b)(a-b)^2 \end{aligned}$$

因此：

$$p - q = \frac{(a+b)(a-b)^2}{ab}$$

3. 根据已知条件判断差值的符号并得出结论

因为 $a < 0$，$b < 0$，所以：

1. $a+b < 0$
2. $ab > 0$
3. $(a-b)^2 \geqslant 0$（当且仅当 $a=b$ 时等号成立）

综上所述：

• 当 $a = b$ 时，$(a-b)^2 = 0$，此时 $p - q = 0$，即 $p = q$；
• 当 $a \neq b$ 时，$(a-b)^2 > 0$，由于 $a+b < 0$ 且 $ab > 0$，所以 $p - q < 0$，即 $p < q$。

因此，无论何种情况下，都有 $p - q \leqslant 0$，即 $p \leqslant q$。

故选 B。