设函数$f(x)=ax- \dfrac {a}{x}-2\ln x$． (1)若$f(x)$在$x=2$时有极值，求实数$a$的值和$f(x)$的极大值； (2)若$f(x)$在定义域上是增函数，求实数$a$的取值范围．

1. 对函数进行求导

已知函数 $f(x)=ax- \dfrac {a}{x}-2\ln x$，其定义域为 $(0, +\infty)$。
对其求导得：
$f'(x) = a + \dfrac{a}{x^2} - \dfrac{2}{x}$

2. 利用极值条件求出参数 $a$ 的值

若 $f(x)$ 在 $x=2$ 时有极值，则必有 $f'(2) = 0$。
代入 $x=2$ 得：
$a + \dfrac{a}{4} - 1 = 0 \implies \dfrac{5}{4}a = 1 \implies a = \dfrac{4}{5}$

3. 确定单调区间并验证极值点

当 $a = \dfrac{4}{5}$ 时，导函数为：
$f'(x) = \dfrac{4}{5} + \dfrac{4}{5x^2} - \dfrac{2}{x} = \dfrac{4x^2 - 10x + 4}{5x^2} = \dfrac{2(2x-1)(x-2)}{5x^2}$
令 $f'(x) = 0$，解得 $x = \dfrac{1}{2}$ 或 $x = 2$。
当 $x \in (0, \dfrac{1}{2})$ 时，$f'(x) > 0$，函数 $f(x)$ 单调递增；
当 $x \in (\dfrac{1}{2}, 2)$ 时，$f'(x) < 0$，函数 $f(x)$ 单调递减；
当 $x \in (2, +\infty)$ 时，$f'(x) > 0$，函数 $f(x)$ 单调递增。
因此，当 $x = 2$ 时 $f(x)$ 取得极小值，当 $x = \dfrac{1}{2}$ 时 $f(x)$ 取得极大值，验证符合题意。

4. 计算函数的极大值

将 $x = \dfrac{1}{2}$ 代入原函数，得极大值为：
$f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1}{2} - \dfrac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{2}} - 2\ln\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{2}{5} - \dfrac{8}{5} + 2\ln 2 = 2\ln 2 - \dfrac{6}{5}$

1. 将单调性条件转化为导数不等式恒成立问题

若 $f(x)$ 在定义域 $(0, +\infty)$ 上是增函数，则导函数 $f'(x) \geqslant 0$ 在 $(0, +\infty)$ 上恒成立。
即 $a + \dfrac{a}{x^2} - \dfrac{2}{x} \geqslant 0$ 在 $x > 0$ 时恒成立。

2. 通过代数变形对参数进行分离

将不等式通分可得：
$\dfrac{ax^2 - 2x + a}{x^2} \geqslant 0$
因为 $x > 0$，所以 $x^2 > 0$，不等式等价于：
$ax^2 - 2x + a \geqslant 0 \implies a(x^2 + 1) \geqslant 2x$
因为 $x^2 + 1 > 0$，故分离参数可得：
$a \geqslant \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ 恒成立。

3. 利用基本不等式求出右侧函数的最大值

设 $g(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ ($x > 0$)。
因为 $x > 0$，可以将分子分母同时除以 $x$，变形为：
$g(x) = \dfrac{2}{x + \frac{1}{x}}$
由基本不等式可得 $x + \dfrac{1}{x} \geqslant 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2$（当且仅当 $x = 1$ 时等号成立）。
因此，$g(x) \leqslant \dfrac{2}{2} = 1$
即 $g(x)$ 的最大值为 $1$。

4. 确定参数 $a$ 的取值范围并做必要验证

要使 $a \geqslant g(x)$ 恒成立，只需 $a$ 大于或等于 $g(x)$ 的最大值，即：
$a \geqslant 1$
当 $a = 1$ 时，$f'(x) = \dfrac{(x-1)^2}{x^2} \geqslant 0$，导数仅在 $x=1$ 时为零，其余区间均大于零，符合增函数定义。
综上，实数 $a$ 的取值范围是 $[1, +\infty)$。