若$x$，$y$是实数，$e$是自然对数的底数，${e}^{x+y+2}-3\leqslant\ln\left(y-2x+1\right)+3x$，则$2x+y=$___.

1. 构造函数并求导，证明常用不等式 $e^t \geqslant t+1$

令 $f(t) = e^t - t - 1$，其定义域为 $\mathbb{R}$。
求导得 $f'(t) = e^t - 1$。
当 $t < 0$ 时，$f'(t) < 0$，函数 $f(t)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递减；
当 $t > 0$ 时，$f'(t) > 0$，函数 $f(t)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。
所以 $f(t) \geqslant f(0) = 0$，即 $e^t \geqslant t+1$，当且仅当 $t=0$ 时等号成立。

2. 构造函数并求导，证明常用不等式 $\ln t \leqslant t-1$

令 $g(t) = \ln t - t + 1$，其定义域为 $(0, +\infty)$。
求导得 $g'(t) = \frac{1}{t} - 1 = \frac{1-t}{t}$。
当 $0 < t < 1$ 时，$g'(t) > 0$，函数 $g(t)$ 在 $(0, 1)$ 上单调递增；
当 $t > 1$ 时，$g'(t) < 0$，函数 $g(t)$ 在 $(1, +\infty)$ 上单调递减。
所以 $g(t) \leqslant g(1) = 0$，即 $\ln t \leqslant t-1$，当且仅当 $t=1$ 时等号成立。

3. 将原不等式两端利用已知不等式进行放缩，得出等号成立的条件

在 $e^t \geqslant t+1$ 中，令 $t = x+y+2$，得 $e^{x+y+2} \geqslant x+y+3$，
即 $e^{x+y+2} - 3 \geqslant x+y$，当且仅当 $x+y+2 = 0$ 时等号成立。
在 $\ln t \leqslant t-1$ 中，令 $t = y-2x+1$（其中 $y-2x+1 > 0$），得 $\ln(y-2x+1) \leqslant y-2x$，
即 $\ln(y-2x+1) + 3x \leqslant y-2x+3x = x+y$，当且仅当 $y-2x+1 = 1 \implies y-2x = 0$ 时等号成立。
结合原不等式 $e^{x+y+2}-3 \leqslant \ln(y-2x+1)+3x$，可得：
$x+y \leqslant e^{x+y+2}-3 \leqslant \ln(y-2x+1)+3x \leqslant x+y$。
因此，上述不等式中的所有等号必须同时成立，
即 $\begin{cases} x+y+2 = 0 \\ y-2x = 0 \end{cases}$。

4. 解二元一次方程组，求出 $2x+y$ 的值

由方程组 $\begin{cases} x+y = -2 \\ y = 2x \end{cases}$，
将 $y = 2x$ 代入第一式得 $3x = -2 \implies x = -\frac{2}{3}$。
进而求得 $y = -\frac{4}{3}$。
此时 $y-2x+1 = -\frac{4}{3} - 2\left(-\frac{2}{3}\right) + 1 = 1 > 0$，对数式有意义。
因此，2x+y = 2\left(-\frac{2}{3}\right) + \left(-\frac{4}{3} ight) = -\frac{8}{3}。