已知函数$f(x)= \sqrt{3}\sin (ωx- \dfrac{π}{6})+b(ω > 0)$，且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为$\dfrac{π}{4}$，当$x∈[0, \dfrac{π}{4}]$时，$f(x)$的最大值为$1$． $(I)$求函数$f(x)$的解析式； $($Ⅱ$)$将函数$f(x)$的图象向右平移$\dfrac{π}{12}$个单位长度得到函数$g(x)$图象，若$g(x)-3\leqslant m\leqslant g(x)+3$在$x∈[0, \dfrac{π}{3}]$上恒成立，求实数$m$的取值范围．

1. 根据对称中心到对称轴的最小距离求出函数的周期和 $\omega$ 的值

因为正弦函数 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 的图象中，相邻的对称中心到对称轴的最小距离为 $\dfrac{T}{4}$，
所以 $\dfrac{T}{4} = \dfrac{\pi}{4}$，解得周期 $T = \pi$。
又因为 $\omega > 0$，所以 $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{\pi} = 2$。
此时，函数解析式为 $f(x) = \sqrt{3}\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) + b$。

2. 确定自变量在指定区间内时相角的范围，并利用最大值求出 $b$ 从而得出解析式

当 $x \in \left[0, \dfrac{\pi}{4}\right]$ 时， $2x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$，
所以 $2x - \dfrac{\pi}{6} \in \left[-\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}\right]$。
因为正弦函数 $y = \sin\theta$ 在 $\left[-\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}\right]$ 上单调递增，
所以当 $2x - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3}$ 时，$\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right)$ 取得最大值 $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
因此，当 $x \in \left[0, \dfrac{\pi}{4}\right]$ 时，$f(x)$ 的最大值为 $\sqrt{3} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} + b = \dfrac{3}{2} + b$。
结合已知最大值为 $1$，得 $\dfrac{3}{2} + b = 1$，解得 $b = -\dfrac{1}{2}$。
所以，函数 $f(x)$ 的解析式为 $f(x) = \sqrt{3}\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) - \dfrac{1}{2}$。

1. 求出平移后得到的函数 $g(x)$ 的解析式

将函数 $f(x) = \sqrt{3}\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) - \dfrac{1}{2}$ 的图象向右平移 $\dfrac{\pi}{12}$ 个单位长度，
得到的函数为 $g(x) = \sqrt{3}\sin\left[2\left(x - \dfrac{\pi}{12}\right) - \dfrac{\pi}{6}\right] - \dfrac{1}{2} = \sqrt{3}\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) - \dfrac{1}{2}$。

2. 求出函数 $g(x)$ 在指定区间上的最大值和最小值

当 $x \in \left[0, \dfrac{\pi}{3}\right]$ 时，$2x \in \left[0, \dfrac{2\pi}{3}\right]$，
所以 $2x - \dfrac{\pi}{3} \in \left[-\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{3}\right]$。
当 $2x - \dfrac{\pi}{3} \in \left[-\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{3}\right]$ 时，正弦值 $\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) \in \left[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right]$，
所以 $g(x) \in \left[\sqrt{3} \times \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) - \dfrac{1}{2}, \sqrt{3} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2}\right] = [-2, 1]$。
故 $g(x)$ 的最大值为 $1$，最小值为 $-2$。

3. 结合恒成立条件求出 $m$ 的取值范围

若 $g(x) - 3 \leqslant m \leqslant g(x) + 3$ 在 $x \in \left[0, \dfrac{\pi}{3}\right]$ 上恒成立，
则必须满足 $m \geqslant [g(x) - 3]_{\max}$ 且 $m \leqslant [g(x) + 3]_{\min}$。
因为 $g(x) \in [-2, 1]$，
所以 $[g(x) - 3]_{\max} = g(x)_{\max} - 3 = 1 - 3 = -2$，
且 $[g(x) + 3]_{\min} = g(x)_{\min} + 3 = -2 + 3 = 1$。
因此，实数 $m$ 的取值范围是 $-2 \leqslant m \leqslant 1$。