已知不等式$(x+y)\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{a}{y} \right)\geqslant 9$对任意的正实数$x$，$y$恒成立，则正实数$a$的最小值为___．

1. 展开代数式以便使用基本不等式

展开已知不等式左边的代数式：
$(x+y)\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{a}{y} \right) = 1 + \dfrac{ay}{x} + \dfrac{x}{y} + a = 1 + a + \left( \dfrac{ay}{x} + \dfrac{x}{y} \right)$

2. 利用基本不等式求出代数式的最小值

因为 $x > 0$，$y > 0$，且 $a > 0$，由基本不等式可得：
$\dfrac{ay}{x} + \dfrac{x}{y} \geqslant 2\sqrt{\dfrac{ay}{x} \cdot \dfrac{x}{y}} = 2\sqrt{a}$
当且仅当 $\dfrac{ay}{x} = \dfrac{x}{y}$，即 $x = \sqrt{a}y$ 时等号成立。
因此，该代数式的最小值为：
$1 + a + 2\sqrt{a} = (\sqrt{a}+1)^2$

3. 根据恒成立条件列出关于 $a$ 的不等式并求解

要使 $(x+y)\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{a}{y} \right)\geqslant 9$ 对任意正实数恒成立，只需其最小值大于或等于 $9$，即：
$(\sqrt{a}+1)^2 \geqslant 9$
由于 $a > 0$，则 $\sqrt{a} + 1 > 0$，解得：
$\sqrt{a} + 1 \geqslant 3 \implies \sqrt{a} \geqslant 2 \implies a \geqslant 4$
因此，正实数 $a$ 的最小值为 $4$。