已知$a$，$b$均为正数，且$a≠b$，比较$a^{3}+b^{3}$与$a^{2}b+ab^{2}$的大小.

1. 对两式作差并进行因式分解

设 $D = (a^3+b^3) - (a^2b+ab^2)$。
将各项重新组合并提取公因式：
$D = (a^3 - a^2b) + (b^3 - ab^2)$
$D = a^2(a-b) + b^2(b-a) = a^2(a-b) - b^2(a-b)$
$D = (a-b)(a^2-b^2)$
利用平方差公式展开，得：
$D = (a-b)(a-b)(a+b) = (a-b)^2(a+b)$

2. 判断差的符号并得出大小关系结论

因为 $a$，$b$ 均为正数，且 $a \neq b$，
所以 $a+b > 0$ 且 $a-b \neq 0$，从而 $(a-b)^2 > 0$。
因此，他们的乘积 $D = (a-b)^2(a+b) > 0$，
即 $(a^3+b^3) - (a^2b+ab^2) > 0$，
所以 $a^3+b^3 > a^2b+ab^2$。