已知曲线$W_{1}$：$x^{2}+y^{2}=m^{2}$，$W_{2}$：$x^{4}+y^{2}=m^{2}$，其中$m>0.$ ①当$m=1$时，曲线$W_{1}$与$W_{2}$有$4$个公共点； ②当$0< m< 1$时，曲线$W_{1}$围成的区域面积大于曲线$W_{2}$围成的区域面积； ③$∃m>1$，曲线$W_{1}$围成的区域面积等于$W_{2}$围成的区域面积； ④$∀m>0$，曲线$W_{1}$围成的区域内整点$($即横、纵坐标均为整数的点$)$个数不少于曲线$W_{2}$围成的区域内整点个数. 其中，所有正确结论的序号是 ___ .

1. 分析结论①：判断当 $m=1$ 时曲线 $W_1$ 与 $W_2$ 的公共点个数

当 $m = 1$ 时，曲线方程分别为 $W_1: x^2 + y^2 = 1$ 和 $W_2: x^4 + y^2 = 1$。
联立两方程消去 $y^2$，得 $x^2 - x^4 = 0$，即 $x^2(1 - x^2) = 0$。
解得 $x = 0$ 或 $x = \pm 1$：

• 当 $x = 0$ 时，$y^2 = 1 \implies y = \pm 1$，对应公共点 $(0, 1)$，$(0, -1)$；
• 当 $x = \pm 1$ 时，$y^2 = 0 \implies y = 0$，对应公共点 $(1, 0)$，$(-1, 0)$。
  所以公共点共有 $4$ 个，结论①正确。

2. 分析结论②与③：比较 $W_1$ 与 $W_2$ 围成的区域面积大小关系

曲线 $W_1: x^2 + y^2 = m^2$ 为圆，其围成的区域面积为 $S_1(m) = \pi m^2$。
曲线 $W_2: x^4 + y^2 = m^2$ 围成的区域关于坐标轴对称，其面积可由定积分表示为：
$S_2(m) = 4 \int_{0}^{\sqrt{m}} \sqrt{m^2 - x^4} \, \mathrm{d}x$
作换元 $x = \sqrt{m}t$，得：
$S_2(m) = 4 m^{3/2} \int_{0}^{1} \sqrt{1 - t^4} \, \mathrm{d}t$
令常数 $I = 4 \int_{0}^{1} \sqrt{1 - t^4} \, \mathrm{d}t$。对 $t \in (0, 1)$，有 $\sqrt{1 - t^4} > \sqrt{1 - t^2}$，因此 $I > 4 \int_{0}^{1} \sqrt{1 - t^2} \, \mathrm{d}t = \pi$。
考虑两面积之差 $f(m) = S_1(m) - S_2(m) = \pi m^2 - I m^{3/2} = m^{3/2}(\pi \sqrt{m} - I)$：

1. 当 $0 < m < 1$ 时，\sqrt{m} < 1 < rac{I}{\pi}，故 $\pi \sqrt{m} - I < 0$，推出 $S_1(m) < S_2(m)$，结论②错误；
2. 取 m = \left(rac{I}{\pi} ight)^2 > 1 时，$\pi \sqrt{m} - I = 0$，即 $S_1(m) = S_2(m)$，故存在 $m > 1$ 使两区域面积相等，结论③正确。

3. 分析结论④：比较对任意 $m > 0$ 两区域内整点个数的大小关系

设 $W_1$ 围成区域内的整点集为 $D_1 = \{(x, y) \in \mathbb{Z}^2 \mid x^2 + y^2 \le m^2\}$，
$W_2$ 围成区域内的整点集为 $D_2 = \{(x, y) \in \mathbb{Z}^2 \mid x^4 + y^2 \le m^2\}$。
对任意整数 $x \in \mathbb{Z}$，均有 $x^4 \ge x^2$（当 $x = 0, \pm 1$ 时取等号，当 $|x| \ge 2$ 时 $x^4 > x^2$）。
若整点 $(x, y) \in D_2$，则 $x^4 + y^2 \le m^2$，进而有 $x^2 + y^2 \le x^4 + y^2 \le m^2$，即 $(x, y) \in D_1$。
因此 $D_2 \subseteq D_1$，这表明 $D_1$ 中的整点个数不少于 $D_2$ 中的整点个数。
故对任意 $m > 0$，结论④正确。

综上所述，所有正确结论的序号是①③④。