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定积分与面积

定积分作为曲线下方的面积

这个知识点的练习题

1图中显示了曲线 $y = g(x)$ 的一部分。 $(2, 8)$ 和 $(6, 1)$ 是曲线上的两个点。已知 $\int_{2}^{6} y \text{ } dx = 32$ ，求 $\int_{1}^{8} x \text{ } dy$ …
2定积分 $\int_{0}^{1}(\sqrt{2x{-}x^{2}})dx$ 等于 $({ })$ A. $\dfrac{\pi}{4}$ B. $\dfrac{\pi}{2}$ C. $\dfrac{\pi{-}1}{4}$ …
3图中显示了曲线 $y = \sqrt{3x + 4}$ 的一部分。直线 $AB$ 在点 $A$ 处与曲线相切。点 $B$ 和 $C$ 位于 $x$ 轴上，且 $C$ 是曲线上的一个点。已知该曲线在点 $A$ 处的切线斜率为 $\frac{3}{2}$ …
4如图所示为曲线 $y = (1 - x)(x - 4)$ 的一部分以及两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ 。直线 $l_1$ 和 $l_2$ 分别是曲线在点 $P$ 和 $Q$ 处的切线，斜率分别为 $2$ 和 $-2$ 。证明 $P$ 和…
5 $∫_{-2}^{2}(\sin x+\sqrt{4-x^{2}}){\rm d}x=(\quad)$ A. $4$ B. $2π$ C. $4+2π$ D. $8$
6图中显示了曲线 $y = 4 - e^{-2x}$ 的一部分，它与坐标轴相交于 $A$ 和 $B$ 两点。求 $A$ 和 $B$ 的坐标。曲线在 $B$ 点处的法线与 $x$ 轴交于 $C$ 点。求 $C$ 的坐标。求阴影区域的面积…
7图中显示了曲线 $y = \sqrt{4x + 5}$ 的一部分。曲线在 $P$ 点处的法线与 $x$ 轴交于 $T$ 。 $P$ 的 $x$ 坐标为 5。已知 $PT$ 是 $PQ$ 的两倍，且 $RQ$ 平行于 $x$ 轴，求 $P$ 点…
8图示为曲线 $y = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1} {2}\ln\left(\frac{x}{3}\right)$ 的一部分，且 $P(3,\,2.25)$ 是该曲线上的一点。利用微积分，写出完整的计算过程，判断…
9图示为当 $0 \le x \le \pi$ 时，曲线 $y = \cos x + \sin x$ 。该曲线与 $y$ 轴交于点 $A$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ 。证明点 $B$ 的 $x$ 坐标为 $\frac{3\pi}{4}$ 。…
10已知 $f(x) = \begin{cases} \sqrt{4a^2 - x^2} & \text{对于 } 0 \le x \le 2a, \\ 3x - 6a & \text{对于 } 2a < x < 3a, \end{cases}$ …
11该图显示了曲线 $y = \frac{7}{6x + 1}$ 的一部分与 $y$ 轴交于点 $A(0, 7)$ 。在点 $K(1, 1)$ 处的曲线切线与 $y$ 轴相交于点 $B$ 。求 $B$ 的坐标。求由曲线、切线 $KB$ 和 $y$ …
12已知曲线 $W_{1}$ ： $x^{2}+y^{2}=m^{2}$ ， $W_{2}$ ： $x^{4}+y^{2}=m^{2}$ ，其中 $m>0.$ ①当 $m=1$ 时，曲线 $W_{1}$ 与 $W_{2}$ 有 $4$ 个公共…
13图中显示了曲线 $y=(9-x)(x-3)$ 的一部分以及直线 $y=k-3$ （其中 $k>3$ ）。过曲线最高点且平行于 y 轴的直线与 x 轴交于 A 点。曲线与 x 轴交于 B 点，直线 $y=k-3$ 与曲线交于点 $C(k,\,k-3)$ …
14图中展示了曲线 $y = \sqrt{3x-2}$ 的一部分。曲线在 $B$ 点处的法线与 $x$ 轴交于点 $C$ 。已知点 $B$ 的 $x$ 坐标为 9，求 $A$ 点和 $C$ 点的坐标，阴影区域的面积。
15图中显示了曲线 $y = \dfrac{3}{9-2x}$ 的一部分。点 $P\ (3,\ 1)$ 在该曲线上，且该曲线在点 $P$ 处的法线与 x 轴相交于点 $Q$ 。求 $Q$ 的坐标。求由曲线、法线 $PQ$ 以及坐标轴所围成的阴…
16如图所示，曲线 $y = 16 + 6x - x^2$ 的一部分与直线 $y = 26 - x$ 相交于点 $A$ 和点 $B$ 。求 $A$ 和 $B$ 的坐标。曲线 $y = 16 + 6x - x^2$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ …
17图中显示了曲线 $y = 1 - \sin x$ 经过点 $P$ 的部分。曲线在点 $Q$ 处与 $x$ 轴相切。曲线在点 $P$ 处的切线和法线分别交 $x$ 轴于点 $R$ 和 $S$ 。证明 $Q$ 的 $x$ 坐标为 $\frac{\pi}{2}$ …
18图中显示了曲线 $y = e^{\left(-\frac{1}{2}x + 2\right)} + x - 1$ 的一部分，该曲线与 $y$ 轴交于点 $R$ 。曲线在点 $P(4, 4)$ 处的切线与 $y$ 轴交于点 $Q$ 。证明阴影部…
19曲线 $y = \ln x$ 与 $x$ 轴交于点 $P$ 。由该曲线、 $x$ 轴及直线 $x = e^2$ 所围成的面积为 $A$ 平方单位。解释为什么 $e^2 - 1 < \int_{1}^{e^2} y \, dx < 2(e^2 - 1)$ …
20下图显示了曲线 $y = x^3 - 12x^2 + 20x$ ，它与 $x$ 轴交于原点 $O$ 以及点 $A$ 和 $B$ 。曲线在点 $(8, -96)$ 处的切线与 $x$ 轴交于点 $C$ 。求 $A$ 和 $B$ 的坐标。求切线…
21如图所示为曲线 $y = \frac{1}{x^2}$ 的一部分。求由曲线 $y = \frac{1}{x^2}$ 、直线 $x = 1$ 、直线 $x = 6$ 以及 $x$ 轴所围成的面积。证明 $\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{6^2} < \frac{5}{6}$ …
22曲线 $y=\cos x(0\leqslant x\leqslant \dfrac{3\pi }{2})$ 与坐标轴围成的面积是。